而最大剪应力发生在轴之表面

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1、第十三章　軸的強度與應力13-1扭轉的意義13-2扭轉角的計算13-3動力與扭轉的關係13-4輪軸大小的計算13-5實心圓軸與空心圓軸的比較總目次如圖13-1（a）所示，為圓軸承受扭矩作用之情形，其兩端承受大小相等，但方向相反的力偶所作用，此力偶可由圖13-1（b）中之旋轉箭頭表示或用圖13-1（c）中之力偶矩向量表示，此種載重情形稱為單純扭矩，或稱純扭。本章將討論實心圓軸承受扭矩後，所產生內效應，包含剪應力及剪應變。扭轉的意義13-1回目次扭轉的意義13-1回目次圖13-1扭轉扭轉角的計算13-2回目次在分析軸承受扭轉

2、作用所生的應力與應變之前，須先作下列之假設。軸所用材質為均質材料。軸承受扭矩後所生的應力在比例限度內。由上列假設可知，軸承受扭轉作用後，其變形為純剪之情形。如圖（a）所示，軸上任一半徑為ρ之縱軸線mn，在經扭轉作用後，其轉動一微量角度γ至mn'。扭轉角的計算13-2回目次扭轉角的計算13-2回目次今取軸上相距Δx且半徑為ρ之微小分離體，若只考慮左右兩橫截面之相對轉角，即左邊截面固定，如圖（b）所示；顯然地，γ為軸在半徑ρ處之剪應變，且依剪應變定義，可得扭轉角的計算13-2回目次式中，bb'=ρΔ，ab=Δx，其中Δ為

3、相距x之兩截面受扭矩作用後的相對轉動角度，稱為扭轉角；而Δ/Δx可稱為單位長度之扭轉角，常以θ表示，即（公式13-1）可以改寫成扭轉角的計算13-2回目次由上式可知，承受扭轉之軸，其剪應變與半徑成正比例，如圖（c）所示。另由虎克定律可得軸承受扭轉後，其橫截面所生的剪應力為(c)扭轉角的計算13-2回目次故剪應力亦與半徑成正比，如圖（d）所示，而最大剪應力發生在軸之表面，軸線上為零，且(d)扭轉角的計算13-2回目次（公式13-4）所得為作用在橫截面的剪應力，但因有等值的剪應力恆存在於互相垂直的平面上，故軸之縱截面上會同

4、時互生等值的剪應力，如圖13-3（a）（b）所示。圖13-3縱向剪應力扭轉角的計算13-2回目次由上述分析可知，扭轉圓軸之表面為一純剪狀態，所以由10-2-3節之討論可知，對抗拉能力很差之脆性材料如鑄鐵圓柱等，若承受扭轉時將於表面產生螺旋裂痕，且其破裂方向是與軸線成45°之方向產生最大拉應力，材料是受此拉力拉至破裂，如圖13-4所示，此斜向螺旋裂痕之產生係因純剪所致。其是由兩垂直方向大小相等之張力與壓力的合成。圖13-4螺旋裂痕扭轉角的計算13-2回目次上述所得之剪應力係由單位長度的扭轉角θ求得，而剪應力與扭矩T之關係，

5、則可依力矩原理求得。即軸承受扭矩T作用時，其橫截面所生之剪應力，對軸中心線的力矩總和必等於該截面所承受之扭矩。圖13-5剪應力及扭矩扭轉角的計算13-2回目次如圖13-5所示，將樑之橫截面視為無數微小面積ΔA集合而成，再由力矩原理得式中，Σρ2ΔA為橫截面之極慣性矩，常以J表示，則T=GθJ，或上式表示軸之單位長度的扭轉角與扭矩成正比例，而與GJ成反比例。GJ稱為軸之扭轉剛度，此值可顯示軸對扭轉變形的抵抗能力。若軸之全長為L，承受扭矩作用時，所產生的總扭轉角ϕ可由（公式13-2、13-5、13-6）求得將（公式13-6）

6、代入（公式13-4），可得剪應力與扭矩力之關係為　　　　　，即扭轉角的計算13-2回目次故剪應力與扭矩成正比例，而與其橫截面的極慣性矩成反比例，則最大剪應力為如令　，ZP為極截面係數，則上式可改寫成扭轉角的計算13-2回目次扭轉角的計算13-2回目次當軸為實心圓軸時，如直徑為d，則又當軸為空心圓軸時，如外徑為dO，內徑為di，則扭轉角的計算13-2回目次扭轉角的計算13-2回目次扭轉角的計算13-2回目次扭轉角的計算13-2回目次扭轉角的計算13-2回目次扭轉角的計算13-2回目次動力與扭轉的關係13-3回目次軸之傳動功

7、率P，由定義可知其等於扭矩T與角速度ω之乘積，即式中，T為軸上所受的扭矩。ω為軸的角速度，單位為弧度/秒；若改以軸的每分鐘轉速N替代，則動力與扭轉的關係13-3回目次但實用上，功率的單位係以「公制馬力(PS)」表示，且1PS=75kgw．m/s。故在公制單位中傳動功率PS與扭矩T及轉速N的關係式為動力與扭轉的關係13-3回目次在SI制單位中，若扭矩T的單位為N．m，圓軸傳遞之功率P的單位為N．m/s即瓦特（W），則式中，1kW=1000W=1000Joule/s=1000N．m/s=1.36PS=102kg．m/sF：k

8、gw，V：m/min動力與扭轉的關係13-3回目次動力與扭轉的關係13-3回目次輪軸大小的計算13-4回目次軸徑設計須符合所要求的強度及剛度。茲先就符合要求強度所需之軸徑d而言，由（公式13-12）可得因代入上式，可得輪軸大小的計算13-4回目次由上式可知若兩軸材料相同，且傳遞的功率也相同，則兩軸的直徑與轉速的立方根