5-4定积分的换元法

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1、1由牛顿——莱布尼兹公式，可以通过不定积分来计算定积分.一般是将定积分的计算截然分成两步：先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿——莱布尼兹公式代值计算出定积分.这种作法相当麻烦，我们希望将不定积分的计算方法与牛顿——莱布尼兹公式有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法——定积分的换元法和定积分的分部积分法.2例解3例解有什么想法没有？4就是说，计算定积分时可以使用换元法.换元时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到原来的变量，直接往下计算并运用牛顿——莱布尼兹公式便可得到定积分的结果.5一、定积分的换元法Substi

2、tutionMethod定理1.设函数单值函数满足:1)2)在上证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则则6说明:1)当<,即区间换为定理1仍成立.2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元(凑微分)不换限7例1.计算解:令则∴原式=且8例2计算解令9例3计算解10例4计算解原式11例5计算解令原式12证奇偶函数在对称区间上的定积分1314奇函数例7计算解原式偶函数单位圆的面积15Exercises:Computethef

3、ollowingdefiniteintegrals练习求下列定积分设函数连续，且已知，求的值。求导，得令，然后求导，最后得16证（1）设17（2）设1819202122练习236.设解法1解法2对已知等式两边求导,思考:若改题为提示:两边求导,得得24①②例925周期函数定积分的性质2627例10.证明证：是以为周期的函数.是以为周期的周期函数.正常数;(B)负正常数;(C)0；(D)非常数√28几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法二、小结29思考题解令思考题解答计算中第二步是错误的.正确解法是30练习题31

4、323334练习题答案35