函数的相关概念与映射(教师版)

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1、函数的相关概念与映射教学目标）1、通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量Z间的依赖关系的重要数学模型；2、学习用集合打对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；3、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.，鼻知识梳理）一.映射的概念•设A、〃是两个•非空的集合，如果按某个确定的对应关系对于集合4中的任意一个元素，在集合B屮都有唯一-确定的元索•和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B,以及对应关系/）叫做集合人到集合3的映射，记作：二、像与原像的概念：给定一个集合A到集合B的映射，且awA

2、JwB,如果元素d和元素b对应，那么我们把元索b叫做元索。的像，元索d叫做元索b的原像。特别提醒：1、对于映射f：A^B来说，则应注意理解以下四点:（1）集合A中每一个元素，在集合B中必冇唯一的象；（2）集合A中不同元素，在集合B屮可以有相同的象；（3）集合A屮的元素与集合3屮的元素的对应关系，可以是：“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”。（4）允许集合B屮的元素没有象；2、集合A、3及对应法则于是确定的，是一个系统；3、对应法则.f冇“方向性”。即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的

3、；三、映射：一般地，设4,B是两个非空的集合，f:A-B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的彖，而中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B的一一映射。特别提醒：对一一映射概念的理解应注意以下两点：（1）集合B中的每一个元素都有原象，也就是说，集合B中不允许有剩余的元索。（2）对于集合4中的不同元素，在集合B中有不同的彖，也就是说，不允许“多对一”：四、函数的概念：设A、〃是两个非空的数集，如果按某一个确定的对应关系/，使对于集合4中的任意一个数x,在集合B中都冇唯

4、一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A^B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=/（%）,%€A。其中x叫自变量，x的取值范I羽A叫做函数y=/（兀）的定义域；与兀的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{/（x）IxgA}叫做

5、羽数y=/（兀）的值域。特别提醒：1、函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊映射，其特殊处主要在于集合A,B为非空的数集；冥冲定义域A,就是指原象的集合，值域｛/（x）IxgA｝,就是彖的集合。2、函数符号y=f（x）表示“y是x的函数”，应理解为：（1）兀是自变量，它是关系所施加的对

6、象；/是对应关系，它可以是一•个或儿个解析式，可以是图像、表格,也可以是文字描述；（2）符号y二/（兀）仅仅是函数符号，不是表示“y等于/与x的乘积”,于（刃也不一定是解析式，再研究函数时，除用符号于（兀）外，还常用g（x）,F（x）,G（x）等符号来表示。3、判断两个变量Z间是否具有函数关系，只耍检验：（1）X的取值集合是否为空集；（2）根据给出的对应关系，自变量X在其定义域内的每一个值，是否都有唯一确定的函数值与之对应。五：函数的值：/（d）表示当X=Q时，函数/（X）的值，这个值就由这一对应关系来确定；/（X）

7、与/⑺）是不同的，前者表示以兀为自变量的函数，后者为常数六：函数的三要素:我们通常把对应法则/、定义域A、值域｛/（X）xgA｝称为函数的三要素。由函数的定义可知，由于函数值域被函数的定义域和对应关系完全确定，这样确定一个函数只需两个要素：定义域和对应法则。如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个函数是同一函数。七：区间的概念和记号：名称定义符号数轴农示闭区间xa

8、xa}无穷区间{xx>a}(“)_oo,dQ,+OC)一00卫）特别提醒：书写区间记号时：（1）冇完整的区间外围记号，冇两个区间端点，JL左端点小于右端点；（2）两个端点Z间用“，”隔开；（3）无穷大是一个符号，不是一个数；以“-co”或“+8”为区间一端时,这一端必是小括号。八：分段函数有些函数在它的定义域中，对于口变量X的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数xx>0通常称为分段函数。如函数歹=忖=0%=0-xx<0特别提醒：1、分段函数是一个函数，而不是儿个函数；2、它是一类较特姝的函数。

9、在求分段函数的值/(兀。)时，一定首先要判断心属于定义域的哪个了集，然后再代相应的关系式；3、分段函数的值域应是其定义域内不同了集上各关系式的取值范围的并集。九：复合函数如果y=于("),《=g(x)，那么y=/[g(兀)]叫做/•和g的复合函数，-其中g(x)为内函数,/(«)为外函数。，莪典例讲练)类型一映射的概念例1：已知集合力={1,2