3.3初等函数的求导问题

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1、小结初等函数的求导问题一、初等函数的求导问题二、求导法则一、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式μμ−1111()0C′=()xx′=μ()x′=()′=−2xxx2(sin)xx′=cos(cos)xx′=−sin22(tan)x′=secx(cot)x′=−cscx(sec)xx′=sectanx(csc)xx′=−csccotxxx()aaa′=ln()eexx′=11(logx)′=(ln)x′=axlnax11(arcsin)x′=(arccos)x′=−221−x1−x11(arctan)x′=2(carcot)x′=−1+x1+x2二、求导法则2

2、.函数的和、差、积、商的求导法则设uuxvvx==(),()可导,则(1)(uv±)′=+uv′′;(2)()cu′=cu′;(是常数)c⎛⎞u′uvuv′−′(3)()uv′=+uvuv′′;(4)⎜⎟=(0v≠)2⎝⎠vv3.反函数的导数等于直接函数导数的倒数.1fx′()=.ϕ′()y4.复合函数的求导法则设y=f(u)而u=ϕ(x),则复合函数y=f[ϕ(x)]的导数为dydydu=⋅或y′()xfux=′′()().ϕdxdudx利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.求导数的方法:1)求导法则2)左右导数(分段函数的分界点

3、或抽象函数,特别是不知可导时要用)分段函数的求导1)各可导开区间内导数的求法直接利用求导法则2)分段函数在分界点的导数要用左右导数的定义计算.说明：如果不知道分段函数在分段点是否可导，则只能用导数定义来研究（先研究它在该点是否连续）⎧xx+<10,例()fx=⎨,求f′()x⎩xx−1,≥0解：∵(),xx+=11′−=()11′∴fx′()=1正确解法xf>=01,();′xxf<01,();′x=fxf()−−()01x+1f′()01=lim=lim=+++xx→→00xx−−00fxf()−+()01x+1f′()0=lim=lim=−∞−−−xx→→00xx−−0

4、0⎧sin,xx<0例fx()=⎨,求f′()x⎩xx+1,≥0'f()xf−(0)x+11−解f(0)=lim=lim=1+++x→0x−0x→0x−0'f()xf−(0)sinx−1f(0)=lim=lim不存在−−−x→0x−0x→0x−0xf<==0,()(′xsin)cx′os;xxf<=01,()();′xx+′=1⎧cos,xx<0fx′()=⎨⎩1,>0x⎧21⎪xxsin,≠0例求()fx=⎨x,f′()x⎪⎩0,=0x11解：xf≠=−0，′()2sinxxcosxx21xsin−0f′()0=limx==limsinx10x→0x−0x→0x⎧11⎪2

5、sinxx−cos，≠0∴fx′()=⎨xx⎩⎪0，=x0例求函数y=x+x+x的导数.1解y′=+()xxx+′2xxx++11=(1+(x+x)′)2x+x+x2x+x111=(1+(1+))2x+x+x2x+x2x24x+xx+2x+1=.28x+x+x⋅x+xx2sinx2例.y=earctanx−1,求y′.2sinx22解:y′=(e⋅cosx⋅2x)arctanx−1sinx211+e(⋅⋅2x)22x2x−122sinx2=2xcosxearctanx−112+esinx2xx−1关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导21211+x+1例.设y=arcta

6、n1+x+ln,求y′.241+x2−111x解:y′=⋅21+(1+x2)21+x211x1x+(⋅−⋅)41+x2+11+x21+x2−11+x21x11)=(−2221+x22+xx−1=(2x+x3)1+x222ln(1+x+1)−ln(1+x−1)设f(x)=x(x−1)(x−2)"(x−99),求f′(0).解:方法1利用导数定义.f(x)−f(0)f′(0)=limx→0x−0=lim(x−1)(x−2)"(x−99)=−99!x→0方法2利用求导公式.f′(x)=(x)′⋅[(x−1)(x−2)"(x−99)]+x⋅[(x−1)(x−2)"(x−99)]′∴

7、f′(0)=−99!解f(2)()()(3)ahfafafah+−+−−原式=limh→0hf(2)()ahfa+−−fahfa(3)()−=−limlimhh→→00hhf(2)()ahfa+−−fahfa(3)()−=−2lim(3)lim−⋅h→023hhh→0−=5()f′a解因在x=0可导,故在0点连续∴lim()fxx=+=lim(acos)xa++xx→→00bxlim()fx=lime=1∴a=1−−x→0x→0f()xf−(0)xx+cos−1f′(0)=lim=lim=1+++x→0x−0x→0