微积分（上）讲座 - 副本

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1、微积分知识点小结典型例题主讲黎传琦一、求极限的方法小结极限的四则运算法则无穷小与无穷大互为倒数的关系无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小消去零因子法无穷小因子分出法根式转移法直接利用无穷大的概念判断左右极限夹逼准则2单调有界数列必有极限准则,再求出极限两个重要极限公式等价无穷小替换数列极限转化为函数极限连续函数导数定义洛比达法则泰勒公式化为定积分积分上限函数的导数32x2x30例求lim(型)x3x30解x3时,分子,分母的极限都是零.方法先约去不为零的无穷小因子x3,再求极限.2(x3)(x1)x2x3limlimx3x3x3(x3)l

2、im(x1)4.x3消去零因子法423x2x1例求lim(型)无穷小因子分出法3xx3x5解x时,分子,分母的极限均为无穷大.3方法先用x去除分子分母,分出无穷小,再求极限.32123x2x1xx2x30limlim0.3xx3x5x351123xx无穷小分出法求有理函数当x的极限时,先将分子、分母同除以x的最高次幂,以分出无穷小,再求极限.5a0nmmm1baxaxa001m0nmlimnn1xbxbxb01nnm(a0,b0,m,n为非负整数)006几个常

3、用极限nnlim(0)1特例limn1nnππlimarctanxlimarctanxx2x2limarccotx0limarccotxπxxxxlime0limexxxlimx1.x07常用等价无穷小当x0时sinx~x,arcsinx~x,tanx~x,xarctanx~x,ln(1x)~x,e1~x,xn112a1~xlna,1x1~x,1cosx~x.n28六个常见的有界函数

4、sinx

5、1,

6、cosx

7、1,(,)π

8、arcsinx

9、,

10、arccosx

11、π,

12、[1,1]2π

13、arctanx

14、,

15、arccotx

16、π,(,)29(1cosx)[xln(1tanx)]0求极限lim4x0sinx0(1cosx)[xln(1tanx)]解lim先用等价4x0sinx2化简x[xln(1tanx)]2xln(1tanx)0lim4lim2x0xx02x02secx恒等变形12洛1tanx1tanxsecxlimlim乘积的极限x04xx04x(1tanx)02221tanxsecx0secx2secxtanx1limlim

17、.x04x洛x0441010例求极限解1432exsinx2exexsinxlim4lim1,4x01ex

18、x

19、x0ex1x112exsinx2exsinxlim4lim41,x0x

20、x

21、x0x1e1ex原式=1.11x幂指函数12cosx例求极限lim31.x0x3x0xe1~x恒等变形2cosxxln()e310解原式lim()x0x302cosx2cosxxlnln33

22、limlim32x0xx0xcosx1ln(1)x0lim3ln(1x)~x2x0xcosx11x0x2lim2.1cosx~x03x6212二、函数的连续性1.函数连续性的定义定义1设函数f(x)在U(x0)内有定义,若充分必要条件limy0x0则称函数f(x)在x0处连续,并称x0为函数f(x)的连续点.定义2若limf(x)f(x0),则称函数f(x)在xx0x0处连续.132.间断点的分类定义若f(x)在x0处出现如下三种情形之一:(1)f(x)在x0处无定义;(2)limf(x)不存在;xx0(3)limf

23、(x)f(x).0xx0则称x0为f(x)的间断点.初等函数无定义的孤立点是间断点.分段函数的分段点可能是间断点,也可能是连续点,需要判定.1414间断点分为两类:第一类间断点f(x0)及f(x0)均存在,00若称x0为可去间断点.若f(x00),称x0为跳跃间断点.第二类间断点f(x0)及f(x0)中至少一个不存在.00若其中有一个为,称x0为无穷间断点.若其中有一个为振荡,称x0为振荡间断点.151求函数f(x)的间断点,并指出其类型.01x1e10x1解当x0,x1时,函数无定义,是函数的间断点.1x0,由于limf(x)l