最小二乘法圆拟合

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1、最小二乘法圆拟合1.最小二乘法圆拟合原理1.1理论最小二乘法(LeastSquareMethod)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。1.2最小二乘圆拟合模型公式推导在二维平面坐标系中，圆方程一般可表示为:（1）对于最小二乘法的圆拟合，其误差平方的优化目标函数为：式中：为圆弧上特征点坐标；为参与拟合的特征点数。在保持这优化目标函数特征的前提上，我们需要对其用一种稍微不同的改进

2、方法来定义误差平方，且其避免了平方根，同时可得到一个最小化问题的直接解，定义如下:（2）则（2）式可改写为：（3）令,,即（3）式可表示为：由最小二乘法原理，参数,,应使取得极小值。根据极小值的求法，,和应满足(4)(5)(6)求解方程组，先消去参数,则式得（7）式得（8）令（9）（10）（11）（12）（13）将（7），（8）式写成矩阵形式（14）根据式（14）和式（6）可得：从而求得最佳拟合圆心坐标，半径的拟合值:,,2.仿真数据分析首先设置仿真圆心(x0,y0),半径R0，在根据实际数据任意选取一

3、段圆弧，产生N组随机数据。考虑实际测量的点云数据中伴随有一定高斯躁白声，因此在每个点添加服从高斯分布的随机数作为噪声，其中为高斯分布的方差(单位：)，在噪声标准差()下产生N组随机噪声数据。最后利用最小二乘法原理对仿真得到的N组随机噪声数据进行拟合，并分析其半径误差与圆心误差。下面任取圆上pi*35/180到6*pi/7圆弧段，以仿真圆心（8.116mm，2.695mm），半径0.875mm作实例分析。在matlab软件中得到的仿真数据效果图图2所示：图2利用仿真的得来的数据（选取某一截面）用最小二乘法

4、进行拟合，得到其拟合效果图如图3所示:图3