最小二乘法圆拟合

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1、最小二乘法拟合圆公式推导及VC实现[r]最小二乘法(leastsquaresanalysis)是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。最小二乘法通常用于曲线拟合(leastsquaresfitting)o这里有拟合圆曲线的公式推导过程和vc实现。最小二乘法拟合圆曲绻R2=(X-£)24-(7-S)2R2=x2+尹2^2和+^2令a—-2^4*#+/一疋可得圆曲线方程的另一个形式:(1)x2+y2+处+如+

2、半径的参数:A=—-2B=—-2R=-^a'+b~-4c2d)di样本集(/£•)[e(123...N)中点到圆心的距离为恥材=(扎山尸+(£冷)2点(乙,乙)到圆辺缘的距离的平方与和半径平方的差为：6=df-R2=(^-&2+(E_5)2_氏2=X；+厅+述,+&E+C令Q(arbrc)为勺的平方和：Q3bC=工护=工[(*/+牢*込+川2求参数a,bfc使得Q(a,b,c)的值最小值。此处使用平方差与最小二乘法差的平方不一样，但是仍然具有实用估计价值，并且可以化简公式。解：平方差Q(aM大于0,因此函数存在大于或等于0的极小值，极大值为无穷大。F(a

3、,b，C对a,b疋求偏导，令偏导等于山得到极值点，比较所有'极值点的函数值即可得到最小值。=工2(町+里+込+码+q)尤=0da一绘@,恥)=P2(X/+yj+込+bYi+c)Yi=0貶丫'。=工2(X,+乙2+込+空+c=O解这个方程组。(2)(3)(4)4)门—匕W门W+JN门£+一+AWP1WP1JW即)0nxklxNq+気+-N+km—XN4+冬+N/&P1N0n^Mx©+N4+怡+n+ki>1—x©+k+怡+・+K即睡2门糸(寸)*右)9出浜宋OHwy¥s过P-1IHW门mo」过!>]—匕即+Fw即+o;MAxq+怡+N-+r&M—NQq+気+

4、L+kMNOHxk'lx(J+xq+怡+宣+Kk-l—x(J+xq+怡+鼻+kpin睡h门关(寸)学(E)C=（吧若-'X二X）G=（N工尸-二卩工卩）丹="三疋丫+"工护-二（X、+严）三卩可解得：

5、Ca+Db+S=0Da+Gb+H=OHD-EGa=CG-D2vHC-EDo=D:-GC工（腎+^）+迁x，+辽冬c=—N得A、B、R的估计拟合值：rre—VC实现的代码：C++类voidCViewActionlmageTool::LeastSquaresFitting()匚13{Iif(m_nNcim<3)軸{Ireturn;I-}Iinti=0;doub

6、leX1=0;doubleY1=0;doubleX2=0;doubleY2=0;doubleX3=0;doubleY3=0;doubleX1Y1=0;doubleX1Y2=0;doubleX2Y1=0;for(i=O;ivm_nNum;i++)白由{IX1=X14-m_points[i].x;〃使用对象数组IY1=Y1+m_points[i].y;IX2=X24-m_points[i].x*m_points[i].x;IY2=Y24-m_points[i].y*m_points[i].y;X3=X34-m_points[i].x*m_points[i].

7、x*m_points[i].x;Y3=Y34-m_points[i].y*m_points[i].y*m_points[i].y;IX1Y1=X1Y14-m_points[i].x*m_points[i].y;X1Y2=X1Y24-m_points[i].x*m_points[i].y*m_points[i].y;X2Y1=X2Y1+m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].y;I-}doubleC,D,E,G,H,N;doublea,b,c;IN=m_nNum;C=N*X2-X1*X1;ID=N*X1Y1-X1*Y

8、1;IE=N*X3+N*X1Y2-(X2+Y2)*X1;IG=N*Y2-Y1*Y1;IH=N*X2Y1+N*Y3-(X2+Y2)*Y1;Ia=(H*D-E*G)/(C*G-D*D);Ib=(H*C-E*D)/(D*D-G*C);Ic=-(a*X1+b*Y1+X2+Y2)/N;doubleA,B,R;IA=a/(-2);IB=b/(-2);R=sqrt(a*a4-b*b-4*c)/2;Im」CenterX=A;Im」CenterY=B;m_fRadius=R;return;