函数的凸性与曲线的拐点.ppt

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1、§2.10函数的凸性与曲线的拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?一、函数凸性的定义图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方下凸上凸点间的弧段，总位于连接这两点的弦之上，则称设f(x)在区间[a,b]上连续，若曲线y=f(x)上的任意两点间的弧段,总是位于连接这两点的弦之下,则称函数f(x)在(a,b)内为下凸；若曲线y=f(x)上任意两函数f(x)在(a,b)内为上凸;函数下凸或上凸的性质统称为函数的凸性.定义：凸有时也用这两个不等式来定义函数上凸、下凸.下凸上凸上凸琴生不等式二、函数凸性

2、的判定证明见P187例1解注意到:三、曲线的拐点及其求法1.定义设f(x)在点x0附近连续，若f(x)在点x0的左右两侧凸性相反，则称曲线上的点(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点.注意:(1)拐点(x0,f(x0))在曲线上,必满足曲线方程；(2)拐点(x0,f(x0))是两个坐标,与f(x)的极值点不同.拐点(x0,f(x0))2.拐点的求法数,则点是拐点的必要条件是定理2如果)(xf在内存在二阶导注意:例2解综上所述可归纳出求曲线拐点的步骤：例3解下凸上凸下凸拐点拐点例4解解函数的定义域为（-

3、∞，+∞）.下凸非拐点下凸拐点上凸+不存在+0-0yxxyo拐点§2-11函数作图一、渐近线定义:.一条渐近线,的距离到某定直线如果点移向无穷远点时LP)(,的就称为曲线那么直线趋向于零xfyL=)(沿着曲线上的一动点当曲线Pxfy=1.铅直渐近线例如有铅直渐近线两条:2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:3.斜渐近线其中：记住公式直线y=ax+b是曲线y=f(x)当x→±∞时的证由函数的极限与无穷小的关系可得：同理可证x→-∞时的情况.渐近线的充要条件是：注意:例1解二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图

4、形的步骤：域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,确定函数)(xfy=的定义域,对函数进行奇1.和二阶导数求出函数的一阶导数求出方程在函数定义2.号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综凸性与拐点（可列表进行讨论）；确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线4.合前四步讨论的结果画出函数的图形.3.确定在这些部分区间内的符5.以及其他变化趋势;描出与方程的根对应的三、作图举例例2解

5、非奇非偶函数,且无对称性.不存在拐点极值点间断点(4)渐近线（5）补充点并作图-2-2不存在拐点极值点间断点例3解偶函数,图形关于y轴对称.拐点极大值拐点AB