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1、阅读理解题1、人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系.若两个不同的自然数的所有真因数（即除了自身以外的正约数）之和相等，我们称这两个数为“亲和数”.例如：18的约数有1、2、3、6、9、18，它的真因数之和1+2+3+6+9=21；51的约数有1、3、17、51，它的真因数之和1+3+17=21，所以18和51为“亲和数”.数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头（首位与末位）都是的数为“两头蛇数”.（1）6的“亲和数”为；将一个四位的“两头蛇数”去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数,求满足条件的“两头蛇
2、数”.（2）已知两个“亲和数”的真因数之和都等于15，且这两个“亲和数”中较大的数能将一个正中间数位（百位）上的数为4的五位“两头蛇数”整除，若这个五位“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的“两头蛇数”。2、若整数a能被整数b整除,则一定存在整数n,使得,即,例如:若整数a能被整数7整除,则一定存在整数n,使得,即.(1)将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数,让个位之前的数减去个位数的两倍,若所得之差能被7整除,则原多位自然数一定能被7整除.例如:将数字1078分解为8和107,,因为91能被7整除,所以1078能被7整除
3、,请你证明任意一个三位数都满足上述规律.(2)若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数,让个位之前的数加上个位数的为正整数,倍,所得之和能被13整除,求当k为何值时使得原多位自然数一定能被13整除.3、一个四位数,记千位上和百位上的数字之和为x,十位上和个位上的数字之和为y,如果,那么称这个四位数为“和平数”.例如:1423,,,因为,所以1423是“和平数”.(1)直接写出:最小的“和平数”是,最大的“和平数”是;(2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”;(3)将一个“和平数”的个
4、位上与十位上的数字交换位置,同时,将百位上与千位上的数字交换位置,称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”.例如:1423与4132为一组“相关和平数”求证:任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数.4、如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位数字与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312，其中，4=3+1，2=3-1，所以4312是亲密数：（1）最小的亲密数是______，最大的亲密数是______.（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得
5、到的新数叫做这个亲密数友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数.5、有这样一对数:一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数,简单地说就是顺序相反的两个数,我们把这样的一对数互称为反序数.比如:123的反序数是321,4056的反序数是6504.根据以上阅读材料,回答下列问题:(1)已知一个三位数,其数位上的数字为连续的三个自然数,求证:原三位数与其反序数之差的绝对值等于198;(2)若一个两位数与其反序数之和是
6、一个完全平方数,求满足上述条件的所有两位数.6、一个三位正整数M,其各位数字均不为零且互不相等.若将M的十位数字与百位数字交换位置,得到一个新的三位数,我们称这个三位数为M的“友谊数”,如:168的“友谊数”为“618”;若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数,并将得到的所有两位数求和,我们称这个和为M的“团结数”,如:123的“团结数”为(1)求证:M与其“友谊数”的差能被15整除;(2)若一个三位正整数N,其百位数字为2,十位数字为a、个位数字为b,且各位数字互不相等,若N的“团结数”与N之差为24,求N的值.7、
7、我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们称p×q是n的最佳分解.并规定：.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12-1>6-2>4-3，所以3×4是12的最佳分解,所以.（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m，总有；（2）如果一个量为正整数t，（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的量为正整数所得的差为18，那么我们称
8、这个数t为“吉祥数”，求所得“吉祥数”中F(t)的最大值.
