ch3-1单电子原子的定态薛定谔方程解

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1、§3—1单电子原子的解单电子原子1、氢原子和类氢离子：核外只有一个电子2、碱金属原子：3Li，11Na，19K，37Rb，核外只有一个价电子；其它核外电子的状态相对稳定，与原子核组成一个较稳定的结构——原子实。原子实的有效电荷为Ze=+e碱金属原子的能级和光谱结构与氢原子类似ee原子实：有效电荷数Z=+1一、单电子原子的波函数2Ze•库仑势Vr()4r022•哈密顿算符Hˆ2Ze2m4r0222Ze•定态薛定谔方程E2m4r0222mZe(E)024r0z直角球坐标系变换：AeAeAeArr

2、ryrixjykzxirsincosjrsinsinkrcoseisincosjsinsinkcosreicoscosjsinsinksineisinjcos球坐标系11eeerrrrsin221211(r)(sin)2222rrrrsinrsin222mZe(E)024r0分离变量(,,)rRr()()()2222sin2Rsin2mrZe21(r)

3、(sin)[E]sin22Rrr4r02d2m02ld22212R2mrZeml1(r)[E](sin)Rrr24rsin2sin021ddml(sin)2ll(1)sinddsin22d2dR2mrZe(r)[E]Rll(1)R2drdr4r02d2imm0()Ael2ld•标准条件(2)()eiml21m0,1,2,l22iml222•归一化条件

4、Ae

5、dAd2

6、A100A121im()elmm0,1,2,l2l21ddml(sin)ll(1)2sinddsin仅当：l为整数，且l

7、m

8、ml方程有解：()BP(cos)lmllmllm

9、l

10、m1

11、

12、dl222其中：P()x(1x)(x1)llm2!ll

13、l

14、dx2缔合Legendre(勒让德)多项式l0,1,2,对一给定的值l，m0,1,2，,ll22d2dR2mre(r)[E]Rll(1)R2drdr4r02()r22

15、mE

16、2me参量代换Rr()rnr2

17、E

18、402d(

19、)n1ll(1)E0情形{}()022d4c1ikrc2ikrRr()eerr该方程总有解，能量E可以取任意正值，非量子化，表示电子可以离开原子核运动至无限远，相当于单电子原子电离的情形，由于能量E可以取任意正值，因此电子的能量谱是连续谱的形式。2d()n1ll(1)E0情形{}()022d4只有n1,2,3,且对于每一个nl,0,1,2n1l221l径向波函数的解：R()CeL()nlnlnl221lk1[(nk)!]Lnl()(1)(nl1k)!(2l1kk)!!缔合拉盖尔

20、多项式22me2C是R的归一化常数rrnln4na00氢原子的波函数(,,)rRr()()()nlmlnllmlmln，l，ml是量子数，为本征态的标志n为正整数1,2,3,且对于每一个nl,0,1,2n1对于每一个lm，l,l1,,1,0,1,l1,l量子数不同的波函数互相是线性独立的二、概率密度****RRznlnllmllmlmlml2R代表几率随r的分布2代表几率随的分布ry*代表几率随的分布x1im()elml2*1Pdd=d，在不同的处发现电子2的几率是相

21、同的，几率的角分布对Z轴是对称的。2Pdsind2随的分布，从原点到2曲线的距离代表的大小同一的lP相加等于一个与,无关的常数，即发现电子的总几率密度是球形对称的22PrdrrRdr代表不同r处发现电子的相对几率;Pr:径向概率密度n1,l0Bohra:02ln1态Bohrr:nan0对于同一n值，当l允许有最大值时，径向概率密度P(r)只有单一的极大峰；对于同一n值，随着l的减小，电子出现在原子核附近的概率逐渐