matlab经验正交函数EOF(转载)

《matlab经验正交函数EOF(转载)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、A.7EOF分分分析析析经验正交函数分析方法(empiricalorthogonalfunction,缩写为EOF)，也称特征向量分析(eigenvectoranalysis)，或者主成分分析(principalcomponentanalysis,缩写PCA)，是一种分析矩阵数据中的结构特征，提取主要数据特征量的一种方法。Lorenz在1950年代首次将其引入气象和气候研究，现在在地学及其他学科中得到了非常广泛的应用。地学数据分析中通常特征向量对应的是空间样本，所以也称空间特征向量或者空间模态；主成分对应的是时间变化，也称时间系数。

2、因此地学中也将EOF分析称为时空分解。原原原理理理与与与算算算法法法²选定要分析的数据，进行数据预处理，通常处理成距平的形式。得到一个数据矩阵Xm£n²计算X与其转置矩阵XT的交叉积，得到方阵1TCm£m=X£Xn如果X是已经处理成了距平的话，则C称为协方差阵；如果X已经标准化(即C中每行数据的平均值为0，标准差为1)，则C称为相关系数阵²计算方阵C的特征根(¸1;:::;m)和特征向量Vm£m，二者满足Cm£m£Vm£m=Vm£m£^m£m其中^是m£m维对角阵，即23¸10:::06760¸2:::07^=67674::::::

3、::::::500:::¸m一般将特征根¸按从大到小顺序排列，即¸1>¸2>:::>¸m。因为数据X是真实的观测值，所以¸应该大于或者等于0。每个非0的特征根对应42一列特征向量值，也称EOF。如¸1对应的特征向量值称第一个EOF模态，也就是V的第一列即EOF1=V(:;1)；第¸k对应的特征向量是V的第k列，即EOFk=V(:;k)。²计算主成分。将EOF投影到原始资料矩阵X上，就得到所有空间特征向量对应的时间系数(即主成分)，即TPCm£n=Vm£m£Xm£n其中PC中每行数据就是对应每个特征向量的时间系数。第一行PC(1,:)

4、就是第一个EOF的时间系数，其他类推。上面是对数据矩阵X进行计算得到的EOF和主成分(PC)，因此利用EOF和PC也可以完全恢复原来的数据矩阵X，即X=EOF£PC有时可以用前面最突出的几个EOF模态就可以拟合出矩阵X的主要特征。此外，EOF和PC都具有正交性的特点，可以证明1PC£PCT=^；即不同的PC之n间相关为0。E£ET=I。I为对角单位矩阵，即对角线上值为1，其他元素都为0。这表明各个模态之间相关为0，是独立的。由上面的计算过程可以看出，EOF分析的核心是计算矩阵C的特征根和特征向量。计算矩阵特征根和特征向量的方法很多，

5、下面具体给出Matlab中进行EOF分析的两种不同的方法。具体步骤可参考下面两个框图中的实例。方法1：调用[EOF,E]=eig(C)，其中EOF为计算得到的空间特征向量，E为特征根。然后计算主成分PC=EOFT£X。需要指出的时，当数据量很大时，例如分析高分辨率的资料(如1km分辨率的NDVI资料)，空间范围很大维数m很容易超过数万个点，则矩阵C的维数是个巨大量，需要占用大量内存，也会导致计算速度异常缓慢。而且很可能超出计算机的计算极限而死机。方法2：直接对矩阵X进行奇异值分解XTX=UVPP其中为奇异值对交阵(对角线上的元素为奇

6、异值)，奇异值与特征根成倍数关系。43Pp²如果矩阵C=1XXT，C的特征根为¸，则有=n¸；nPp²如果矩阵C=XXT，C的特征根为¸，则有=¸；由于该方法是直接对矩阵X进行分解，所以对内存的要求远小于方法1。计算速度很快。两种方法对比练习。显显显著著著性性性检检检验验验可以证明XmXmXmX2=¸=PC2ikki=1k=1k=1这说明矩阵X的方差大小可以简单的用特征根的大小来表示。¸越高说明其对应的模态越重要，对总方差的贡献越大。第k个模态对总的方差解释率为¸kPm£100%i=1¸i即使是随机数或者虚假数据，放在一起进行EOF

7、分析，也可以将其分解成一系列的空间特征向量和主成分。因此，实际资料分析中得到的空间模态是否是随机的，需要进行统计检验。North等(1982)的研究指出，在95%置信度水平下的特征根的误差r2¢¸=¸N¤¸是特征根，N¤是数据的有效自由度，这在前面相关系数分析中已经有介绍(见4页相关内容)。将¸按顺序依次检查，标上误差范围。如果前后两个¸之间误差范围有重叠，那么他们之间没有显著差别。图A.16是对1949¡2002年北半球1月平均海平面气压，做距平处理处理及面积加权后进行EOF分析的结果。从特征根误差范围看，第一和第二模态存在显著差

8、别，第二和第三模态之间也存在显著差别。但是第三特征根和第四及以后的特征根之间没有显著的差别。如果要分析主要的模态的话，最好只选择前三个进行分析。44练习：利用[E,V]=eig(C)计算矩阵X的特征向量和主成分%X=[26152;94