有关极坐标系双曲线方程的探讨

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1、,有关极坐标系双曲线方程的探讨金寨一中程德吾泞P,,极坐标系中圆锥曲线的统一方程pc’无论从方程的推求方程的作图或方二仑丽弓不,。,。,,程的应用来说均以>1即双曲线的情况最复杂原因在于当。《1时方程中p恒取正值e1,。。而当>时p既可取正值也可取负值本文就此作一点探讨扮、一关于方程的推导己户《数学》课本第二册第17。页引入了方程p=一eeos’推导过程是在p>o的限制子o,。,,`,。下进行的这对《l时是没有异议的但对>1时却有进一步分析的必要:“,1,`s+=。先提出一个简单的命题在极坐标系中点M(甲)(这里>0)到直线p

2、coep”,。。的距离等于!二。甲+P}这只要把命题化为直角坐标系来考虑即可证明,,现推导极坐标系下双曲线的方程取焦点F为极点尸到准线l的垂线的反向延长线为,,。巴,。极轴极轴交准线l于K令表示离心率(>l)p表示焦准距p,,p。,,设M(e)是曲线上的任一点这里>联MF作MAll(图1)p。。se+p二o则准线方程是.,:二}cPosa+且IMFI“p{M川川IMF!丽力}““丁.p=c!peoso+户1(1)(1)式即极坐系,(限p>0)中双曲线的方程制eos二,,:。由于o的周期是2约定取0〔〔o2〕由(1)得p=e(p

3、coso+P)或p=一e(peoso+P)eP一己P1图p“p=r二万瓦元百①或1+eeoso②_1p,1一尸o,由于>0所以①成立的条件是小。>即cosU<若骨=areeo、1.’O任M,(2:r一areeos1+eeo、,1同理②成立的条件是0

4、在〔O川上除开MM外尚剩下又间M(,乙兀声,粤丁C,:,p0由上述分析知当O〔M时没有>适合方程(1)2.::,::,::,显然Mc对即班是M的一个子尽i可所以当e〔McM时由方程(2)可算出p,:,。两个正的的值这说明对于一个e〔肥它对应于曲线上的两个不同的点.:.,一eeos,3当.任M=cM时由于ze)o且1+eeose(.所以`乡一e户_ZeP,。一“.r二蔽丽石而而丽万西而石盯百不蔽丽了气,,丫由此可以粉出在p>0的限制下p二和p=石丽分别双曲线的右支及左成编震尝“。支.,。,,。c4注意(2)的推导过程可知若取o<

5、《1则l+“。、eO恒,二一、,。。成立所以。、厢(p>。,就是线椭,的。坐标方程这里不再讨论瓷蜘,,。由于课本刘敬径p已扩充到可取任意实数故死扣一>。不放这就作茧自缚了下面p,=,。二,a·c我们放弃>。的限制设法将”〔矶时p百这一支变换到”〔M`”cos币盖争`“一arcco“,2二,p.U,〕而让取负值告,,,、一,一p,二,注意在极坐标系中(p6)(pe+劝及(一)都表示相同的一点兀一arc005,二,。=一eP若。。(〕且’一p,1+eos,则’告云G1一亡eos(0+介)p声=一,6,=6

6、+兀,夕盯一arccos12二,p,,G,令P则6〔(2)!()适合方程心。=二-里应一l一亡CO、O一亡e,二-兀+.rccoP一户,P又若0〔〔s万且户eo、0’则二万乙。5(G一二)’r丹I。r。co。,,=一p,,=一二,,)产,声,peP令p8e则8〔(0告且(p.》适合方程l一eeoso诊,一eP:_eP由此可知适合方程p=+eeos(6〔M)的点与适合方程p1o1一eeoso一,`:cc。、二一arc1。。〔。)u(22二,,p’〕是相同的再由(2)知在极坐标系下允许告丁心、,夕(取正负值则双曲线方程为1一eeo

7、s3)o。,由此可见若不限制p>0,泛泛地说(3)仪表示双曲线的一文是不妥的二关子方程的作图,,电《数学》课本第二册复习题七有给出国锥曲线极坐标方粗耍求作出它们的曲线的习,,.题其中仍以双曲线情况最复杂(如第四题)p万)现就一般情况作一分析触墟丽p二eP。,,,:在方程(>l)中取OC〔02幻则p随e的变化规律如下表所示ee0S1一O8。(a。。s)二(2。·c005)2二二告晋卜告l一eeoss~粤`C-一(一0)一01一e尸1尸1+e、1恤、P(+0)尸+一0V1一l一己己“一。”“。。“·产。,尸“一二二对应的点合厂犷斋

8、`夕一以二告一`,:。一,A。(I)(I),p,A今Q,(I)(I),A扮`,,,`表中诸I均指由给定的点延伸至无穷远或由无穷远延伸至给定点见图2),,曲线是由两个无穷分支组成的当。递增变化而引起动点M的变化状况可以从图2看皿山。,arc·o、,/,:多当。在〔)内变化对应的