2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何第6讲空间向量及其运算分层演练理（含解析）新人教A版

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1、第6讲空间向量及其运算1.已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　)A.(b＋c－a)B.(a＋b＋c)C.(a－b＋c)D.(c－a－b)解析：选D.＝＋＋＝(c－a－b)．2．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于(　　)A.B．9C.D.解析：选D.由题意知存在实数x，y使得c＝xa＋yb，即(7，5，λ)＝x(2，－1，3)＋y(－1，4，－2)，由此得方程组解得x＝，y＝，所以λ＝－＝.3．已知A

2、(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　)A．±B.C．－D．±解析：选C.＋λ＝(1，－λ，λ)，cos120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，所以λ＝－.4．已知四边形ABCD满足：·>0，·>0，·>0，·>0，则该四边形为(　　)A．平行四边形B．梯形C．长方形D．空间四边形解析：选D.由·>0，·>0，·>0，·>0，知该四边形一定不是平面图形．5．(2019·唐山统考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝1，N为B1B的中点，则

3、

4、为

5、(　　)A.aB.aC.aD.a解析：选A.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，因为点M在AC1上且＝，所以(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，所以x＝a，y＝，z＝.所以M，所以

6、

7、＝　＝a.6．已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a、b、c表示向量＝________．解析：如图所示，＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝(＋－2)＝(＋－)＝(b＋c－a)．答案：(b＋c－a)7.如图所示，已知空间四边形OABC

8、，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．解析：设＝a，＝b，＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且

9、b

10、＝

11、c

12、，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝

13、a

14、

15、c

16、－

17、a

18、

19、b

20、＝0，所以⊥，所以cos〈，〉＝0.答案：08．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．解析：因为·＝0，·＝0，所以AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正

21、确．又与不平行，所以是平面ABCD的法向量，则③正确．因为＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，所以与不平行，故④错．答案：①②③9．已知a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)．(1)求

22、2a＋b

23、；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)解：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故

24、2a＋b

25、＝＝5.(2)令＝t(t∈R)，所以＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，若⊥b，则·b

26、＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.所以－3＋t＝－，－1－t＝－，4－2t＝，因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为(－，－，)．10．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；(2)若

27、a

28、＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．解：(1)由题意可得：＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，所以cos〈，〉＝＝＝＝.所以sin〈，〉＝，所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为S＝2×

29、

30、·

31、

32、·sin〈，〉＝14×＝7.(2

33、)设a＝(x，y，z)，由题意得解得或所以向量a的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．1．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为(　　)A．(1，1，1)B.C.D.解析：选C.设M点的坐标为(x，y，1)，因为AC∩BD＝O，所以O，又E(0，0，1)，A(，，0)，所以＝，＝(x－，y－，1)，因为AM∥平面BDE，所以∥，所以⇒所以M点的坐标为.2．已知ABCDA1B1C1D1为正方体，给出下列四个命题：①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向

34、量与向量的夹角是60°；④正方体ABCDA1B1C1D1的体积为

35、··

36、.其中正确命题的序号是________．解析：①中(＋＋)2＝2＋2＋2＝32，故①正确；②中－＝，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1