高考数学第八章立体几何6第6讲空间向量及其运算练习理(含解析)

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1、第6讲空间向量及其运算[基础题组练]1.已知三棱锥OABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示,则等于(  )A.(b+c-a)B.(a+b+c)C.(a-b+c)D.(c-a-b)解析:选D.=++=(c-a-b).2.已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ=(  )A.9          B.-9C.-3D.3解析:选B.由题意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),所以解得λ=-9.3.在空间四边形ABCD中,·+·+·=(  )A.-1B.0

2、C.1D.不确定解析:选B.如图,令=a,=b,=c,则·+·+·=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.4.如图,在大小为45°的二面角AEFD中,四边形ABFE,四边形CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(  )A.B.C.1D.解析:选D.因为=++,所以

3、

4、2=

5、

6、2+

7、

8、2+

9、

10、2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-,所以

11、

12、=.5.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O为坐标原点,+λ与的夹角为120°,则λ的值为(  )A.±B.C.-D.±解析:选C.+λ=(1,-λ,λ),c

13、os120°==-,得λ=±.经检验λ=不合题意,舍去,所以λ=-.6.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,O为AC的中点.用,,表示,则=________.解析:因为==(+),所以=+=(+)+=++.答案:++7.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是CD,PC的中点,并且PA=AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中,则MN=________.解析:连接PD,因为M,N分别为CD,PC的中点,所以MN=PD,又P(0,0,1),D(0,1,0),所以PD==,所以MN=.答案:8.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=

14、,则cos〈,〉的值为________.解析:设=a,=b,=c,由已知条件得〈a,b〉=〈a,c〉=,且

15、b

16、=

17、c

18、,·=a·(c-b)=a·c-a·b=

19、a

20、

21、c

22、-

23、a

24、

25、b

26、=0,所以⊥,所以cos〈,〉=0.答案:09.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.(1)试用向量,,表示;(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.解:(1)设=a,=b,=c.由图得=++=c+b+=a+b+c=++.(2)证明:由题图,得=+=a+b,=+=b+a=,因为EG与AC无公共点,所以EG∥AC,

27、因为EG⊄平面AB1C,AC⊂平面AB1C,所以EG∥平面AB1C.又因为=+=a+c,=+=c+a=,因为FG与AB1无公共点,所以FG∥AB1,因为FG⊄平面AB1C,AB1⊂平面AB1C,所以FG∥平面AB1C,又因为FG∩EG=G,FG,EG⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面AB1C.10.已知正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1,E,F,G,H分别是四面体ABCD中各棱的中点,设=a,=b,=c,试采用向量法解决下列问题.(1)求的模长;(2)求,的夹角.解:(1)如图所示,正四面体ABCD的棱长为1,E,F,G,H分别是四面体ABCD中各棱的中点,=a,=b

28、,=c,所以==(-)=(b-a),==c;所以=++=-(b-a)-a+c=(c-a-b),所以

29、

30、====.(2)正四面体ABCD中,=(c-a-b),

31、

32、=;同理,=(b+c-a),

33、

34、=;所以cos〈,〉===[(c-a)2-b2]=[c2+a2-2c·a-b2]=[1+1-2×1×1×cos60°-1]=0,所以与的夹角为90°.[综合题组练]1.已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的(  )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:

35、选B.当x=2,y=-3,z=2时,即=2-3+2.则-=2-3(-)+2(-),即=-3+2,根据共面向量定理知,P,A,B,C四点共面;反之,当P,A,B,C四点共面时,根据共面向量定理,设=m+n(m,n∈R),即-=m(-)+n(-),即=(1-m-n)+m+n,即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件.2.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,

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