不完全缓和曲线的计算

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1、不完全缓和曲线的计算1 不完全缓和曲线特性对于回旋参数为A的缓和曲线,完全缓和曲线是半径从无穷大到R或从R到无穷大,而不完全缓和曲线是完全缓和曲线的一部分,即曲率半径从R1到R2,下面讨论它的一些特性。如图1,设不完全缓和曲线回旋参数为A,起点曲率半径为R1,终点曲率半径为R2,R1>R2,不完全缓和曲线长为ls。把不完全缓和曲线的一端O1(曲率半径为R1)顺延至曲率半径为∞的O处,形成完全缓和曲线,这样就可用完全缓和曲线计算公式推导不完全缓和曲线计算公式。O至O1的曲线长为  ls1=A2・R1-1o至O2的曲线长为ls2=A2・R2-

2、1如果知道了O1或O2或交点JD在路线测量坐标系中的坐标和切线方位角,就能通过坐标旋转公式求出任意点P在路线测量坐标系中的坐标,采用极坐标法在测量控制点上放样出P点。4算例图5为某互通立交中一匝道内的一段不完全缓和曲线,已知:JD(94381701,47221546),αO1ΟJD=242°01′00″6,αJD-O2=305°49′48″0,A=60,R1=400。图5通过计算得β=63°48′47″4R2=40,ls=81ls1=9,ls2=90切线长为TJDΟO1=551868,TJDΟO2=331426外矢距为E=111091,曲

3、线O1Q=511994则主点坐标O1(94641915,47711882),O2(94581268,46951445)设P点到O1的曲线长l=23119,则βP=7°36′04″4P在O1切线坐标中坐标为x1P=231139y1P=11248P在O2切线坐标中坐标为x2P=461754y2P=291891P在路线测量坐标系中的坐标为XP=94551162YP=47501869上面都是通过电算程序计算所得。本文所讨论的内容对于互通立交匝道的设计和施工放样有很大参考作用。A2=ls・R1・R2R1-R2(1)即对于不完全缓和曲线参数:A、ls

4、、R1、R2,只要知道其中任意3个参数就能确定另外一个。设不完全缓和曲线上任意点P距起点O1曲线长为l,曲率半径为R。下面确定不完全缓和曲线上任意点切线与起点切线夹角βP(这里称之为不完全缓和曲线转角)。如图1所示。ls1+l=A2RβO1=ls212A2βO2=ls222A2βOP=(ls1+l)22A2βP=βOP-βO1=(ls1+l)22A2-ls212A2βP=lR1+l22A2(2)若R1

5、和曲线上任意一点的切线的夹角β,也即只要知道不完全缓和曲线起点切线方位角,就能计算出不完全缓和曲线上任意一点的切线的方位角。图22不完全缓和曲线的要素计算(1)切线长计算如图2,JD为不完全缓和曲线两端切线相交点———称为不完全缓和曲线交点,SJDΟO1、SJDΟO2为切线长,设R1>R2,把不完全缓和曲线的一端O1(曲率半径为R1)顺延至曲率半径为∞的O处,形成完全缓和曲线,假设在O1和O2处分别接上半径为R1和R2的圆曲线,统一在O处建立切线坐标系,则在O1处的曲线的内移值p1和切线增长值q1为p1=yO1-R1(1-cosβO1)q

6、1=xO1-R1・sinβO1(xO1,yO1)为O1点在O点处切线坐标系中的坐标。xO1=ls1-ls31/40R21+……yO1=ls21/6R1+……从图中可看出SOΟJD1=q1+(R1+P1)・tg(βO1/2)-p1/sinβO1SO1ΟJD1=(R1+P1)・tg(βO1/2)+p1・ctgβO1同理,在O2处p2=yO2-R2(1-cosβO2)q2=xO2-R2・sinβO2SOΟJD2=q2+(R2+P2)・tg(βO2/2)-p2/sinβO2SO2ΟJD2=(R2+P2)・tg(βO2/2)+p2・ctgβO2则S

7、JD1ΟJD2=SOΟJD2-SOΟJD1在三角形JDΟJD1ΟJD2中,按正弦定理SJDΟJD1=SJD1ΟJD2sinβ・sin(180°-β2)SJDΟJD2=SJD1ΟJD2sinβ・sinβ1故不完全缓和曲线的切线长为TO1=SJD2O1=SJD2JD1-SO12JD1TO2=SJD2O2=SO22JD2-SJD2JD2(2)外矢距计算图3在路线中,曲线的外矢距起到控制曲线的作用,这里定义不完全缓和曲线外矢距就是交点JD到曲线的最短距离,由于道路设计中采用的都是凹曲线或凸曲线,所以JD一定在曲线上某点Q的法线上。由于计算的复杂性

8、,这里采用迭代法确定Q点并计算外矢距E。如图3建立以O1为原点的切线坐公路交通科技2002年第1期标系,则:(xJD,yJD)=(TO1,0),在曲线上取一点P,距O1点曲线长为l,则P点坐标