第32讲图形的相似

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1、第32讲 图形的相似3.平行线分线段成比例定理(1)三条平行线截两条直线,所得的对应线段成__比例__;(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成__比例__;(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成__比例__,那么这条直线平行于三角形的第三边;(4)平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.4.相似三角形的定义:对应角相等、对应边成比例的三角形叫做__相似三角形__.相似比:相似三角形的对应边的比,叫做两个相似三角形的__相似比__.5.相似三角形的判定(1)平行于三

2、角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似;(2)两角对应相等,两三角形相似;(3)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(4)三边对应成比例,两三角形相似;(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似;(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似.6.相似三角形性质相似三角形的对应角相等,对应边成比例,对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.7.射影定理:如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,则有下列结论.(1)AC2=AD·AB;(2)BC2=

3、BD·AB;(3)CD2=AD·BD;(4)AC2∶BC2=AD∶BD;(5)AB·CD=AC·BC.8.相似多边形的性质(1)相似多边形对应角__相等__,对应边__成比例__.(2)相似多边形周长之比等于__相似比__,面积之比等于__相似比的平方__.9.位似图形(1)概念:如果两个多边形不仅__相似__,而且对应顶点的连线相交于__一点__,这样的图形叫做位似图形.这个点叫做__位似中心__.(2)性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比__.2.(2012·盘锦)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,放置边长分别为4,6,x的三个正方形,则x的值为(C)A.

4、24B.12C.10D.8第1题图第2题图3.(2014·葫芦岛)如图,AE,BD交于点C,BA⊥AE于点A,ED⊥BD于点D,若AC=4,AB=3,CD=2,则CE=__2.5__.4.(2013·本溪)如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=4,点P是边AB上一点,若△APD与△BPC相似,则满足条件的点P有__3__个.第4题图第3题图5.(2014·沈阳)如图,在△ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DE∥BC交AC于点E,若DE=5,则BC的长为(C)A.7.5B.10C.15D.20比例的基本性质、黄金分割三角形相似的性质及判定【例2】(2014·宜昌)已知:如图,四边形A

5、BCD为平行四边形,以CD为直径作⊙O,⊙O与边BC相交于点F,⊙O的切线DE与边AB相交于点E,且AE=3EB.(1)求证:△ADE∽△CDF;(2)当CF∶FB=1∶2时,求⊙O与▱ABCD的面积之比.2.(2014·玉林)如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN,在CD边上取点P使CP=BM,连接NP,BP.(1)求证:四边形BMNP是平行四边形;(2)线段MN与CD交于点Q,连接AQ,若△MCQ∽△AMQ,则BM与MC存在怎样的数量关系?请说明理由.相似三角形综合问题(1)证明:连OC,如图,∵ED⊥AB,∴∠FBG+∠

6、FGB=90°,又∵PC=PG,∴∠1=∠2,而∠2=∠FGB,∠4=∠FBG,∴∠1+∠4=90°,即OC⊥PC,∴PC是⊙O的切线(2)证明:连OG,如图,∵BG2=BF·BO,即BG∶BO=BF∶BG,而∠FBG=∠GBO,∴△BGO∽△BFG,∴∠OGB=∠BFG=90°,即OG⊥BG,∴BG=CG,即点G是BC的中点(3)解:连OE,如图,∵ED⊥AB,∴FE=FD,而AB=10,ED=4,∴EF=2,OE=5,在Rt△OEF中,OF===1,∴BF=5-1=4,∵BG2=BF·BO,∴BG2=BF·BO=4×5,∴BG=2【点评】本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理以及三角形

7、相似的判定与性质等知识的综合运用.3.(2014·绍兴)课本中有一道作业题:有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.问加工成的正方形零件的边长是多少毫米?小颖解得此题的答案为48mm,小颖善于反思,她又提出了如下的问题.(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,如图①

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