极限的运算法则

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1、1．极限2．极限的运算法则，两个重要极限3．无穷小与无穷小的比较4．连续函数一、本章要点1．极限数列的极限，，当时，有函数的极限⑴，　，当时，有⑵，　，当时，有单侧极限定理，　，当　时，有，　，当　时，有定理，　　　，当时，有，　　　，当时，有⑴⑵⑶若，2．极限运算法则，两个重要极限设，，则⑷设，，且当　　　时，　　　　，则极限存在准则准则I(夹逼定理)如果数列，，满足下列条件：⑴，⑵，那么数列　　的极限存在，且准则I'(夹逼定理)如果函数，，满足下列条件：⑴当(或)时，，⑵，那么　　　　　存在，且准则II单调有界必有极限．两个重要极限3．无穷小与无穷小的比较无穷小若，

2、则称为无穷小．设为无穷小，⑵，则称是的同阶无穷小．⑴，为的高阶无穷小，记作⑶，则称是的k阶无穷小．⑷，则称与是等价无穷小,记作当时，常用的等价无穷小：4．连续函数⑴函数在处连续，　　　，当时，有⑵单侧连续左连续　　　　　　　　，右连续　　　　　　　　．定理函数在点连续在点既是左连续的又是右连续的．⑶间断点及间断点的分类若函数在点不连续，则称为函数的间断点．设为的间断点：①存在，为可去间断点；②；第一类间断点，至少有一不存在．第二类间断点．定理初等函数在定义域内为连续函数．闭区间上连续函数的性质设在闭区间上连续，则③若　，则　　　　　，使　　　　．①在闭区间上有界且可取到

3、最大值和最小值．②在闭区间上可取到介于最大值和最小值中的一切值．二、例题选讲例1证明　　　　　　　　．证，因故，取，当时，有即　　　　　　　　　　　　　．例2证明．证，因，取，当，即时，有令，当时，有即例3设数列满足，其中，证明：证由条件，得，令，则有　　　　　　　　　　　　，又　　　　　　　　　　　　，由夹逼定理，得例4求下列极限：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸解⑴⑵⑶⑷所以⑸，因例5，求常数　　．解令　　　　　　　　，　　　　　　　　　　，故，原式为例6，求　　．解例7求极限　　　　　　　　　　　　　　　　．解令，则　　　　　　　　，　　　　　　　　　，得　．解设，则　　　　　

4、　　　　　　　　　　　　，例8设，求　　　　　　　　　．又，故例9设数列满足证由条件证明：存在，并求此极限．即：数列是单调上升的．又，故数列的极限存在，设其为　，则　　　．原式两边取极限，得即解得　　　　　　　，(舍去)．例10设，　　，⑴证明数列自第二项起单调下降且有下界；⑵求证先证，因即若设　　　　，则两边取极限，得故数列单调下降且有下界，故存在，设其为，则在解得　　　，即例11．解因故例12求极限　　　　　　．解例13求极限故解令　　　　，则　　　时，　　，例14求极限解因所以解例15求极限，其中注意到：故原极限为例16求解令则且　　　　时，　　　．所以例17确定

5、使解由此得例18指出当时，是的几阶无穷小？解考虑极限故例19设讨论的连续性．所以为第一类可去间断点．解当时，显然为连续函数；又因例20设函数在内连续，求．解当时，得当时，得将，代入到的表达式中，得解得由于连续，因此即得问在定义域内是否连续？例21设函数，解当时，当时，故为定义域内的连续函数．例22若函数在闭区间上连续，且证明：至少存在一点使得由零点定理，知存在，使得，即证令　　　　　　　　，则　　　在　　　上连续．因证令并设，令例23设函数在内连续，且，存在，证明：可以取到介于和之间但不等于和之间的一切值．则在上连续．因　　　　　，故　　　　　　　，即由介值定理，知：对

6、于任意　，　　　，，使得　　　　　．三、练习1．求下列极限1)2)3)4)5)6)2．设数列满足且求3．设求，使在处连续．4．确定的值，使得有无穷间断点及可去间断点　．5．求的间断点及类型．6．试证在内至少有一个根．7．设　　在　　　上连续，且　　　　　，．证明：，使得