高考数学一轮复习专题04函数及其表示（含解析）

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1、专题04函数及其表示最新考纲1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).基础知识融会贯通1．函数与映射函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y

2、与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射函数记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)

3、x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分

4、段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】简单函数定义域的类型(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合；(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x

5、x≠0}；(5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y＝tanx的定义域为.重点难点突破【题型一】函数的概念【典型例题】若函数y＝f（x）

6、的定义域为M＝{x

7、﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y

8、0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）A．B．C．D．【解答】解：对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选：B． 【再练一题】下列四组函数中，表示同一函数的是（　　）A．B．y＝arcsin（sinx）和y＝sin（arcsinx）C．y＝x和y＝arccos（cosx）D．y＝x（x∈{0，1}）和y＝x2（

9、x∈{0，1}）【解答】解：A．y＝log22x＝x，函数的定义域为R，yx，函数的定义域为{x

10、x＞0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数B．y＝sin（arcsinx）的定义域为[﹣1，1]，y＝arcsin（sinx）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．C．y＝arccos（cosx）的值域是[，]，y＝x的值域是R，不是相同函数．D．y＝x对应的点为（0，0），（1，1），y＝x2对应的点为（0，0），（1，1），两个函数是同一函数，故选：D． 思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相

11、同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．【题型二】函数的定义域问题命题点1　求函数的定义域【典型例题】若函数f（x）ln（x+1），则函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）的定义域为（　　）A．（﹣1，2]B．（﹣1，1）C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]【解答】解：解得，﹣1＜x≤2；∴要使g（x）有意义，则：；解得﹣1＜x＜1；∴g（x）的定义域为（﹣1，1）．故选：B． 【再练一题】已知函数f（x）的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（　　）A．（1，2）B．（1，4）C．RD．（，

12、﹣1）∪（1，）【解答】解：∵数f（x）的定义域为（1，2），∴由1＜x2＜2，得x＜﹣1或1＜x．即函数f（x2）的定义域是（，﹣1）∪（1，）．故选：D． 命题点2　已知函数的定义域求参数范围【典型例题】设函数f（x）．（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝5时，f（x），由

13、x﹣1

14、+

15、x﹣2

16、﹣5≥0，得或或，解得：x≥4或x≤﹣1，即函数f（x）的定义域为{x

17、x≤﹣1或x≥4}．（2）由题可知

18、x﹣1

19、+

20、x﹣2

21、﹣a≥0恒成立，即a≤

22、x﹣1

23、+

24、x﹣2

25、

26、恒成立，而

27、x﹣1

28、+

29、x﹣2

30、≥

31、（x﹣1）+（2﹣x）

32、＝1，所以a≤1，即a的取值范围为（﹣∞，1]．【再练一题】函