山东专用高考数学一轮复习专题04函数及其表示含解析.docx

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1、专题04函数及其表示一、【知识精讲】1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义

2、域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)

3、x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各

4、段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】　1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．二、【典例精练】例1.（1）函数f(x)＝＋的定义域为________．(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)A．(－1,1)B.C．(－1,0)D.【答

5、案】(1)(－1，＋∞)　(2)B　【解析】(1)由题意得解得x＞－1，所以函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．(2)令u＝2x＋1，由f(x)的定义域为(－1,0)，可知－1

6、问题本身的要求．2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．例2.(1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)；(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)．(3)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－

7、1，求f(x)的解析式；【解析】(1)法一：待定系数法因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以解得所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．法二：换元法令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，所以f(t)＝42－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．法三：配凑法因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1

8、)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．（2）(2)解方程组法由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝.故f(x)的解析式是f(x)＝(x∈R)．（3）由于f＝x2＋＝2－2，令t＝x＋，当x＞0时，t≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号；当x＜0时，t＝－≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴f(t)＝t2－2t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f(x)的解析

9、式是f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．（4）设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴即∴f(x)＝x2－x＋2.【解法小结】　求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关