高考数学一轮总复习集合函数导数专题19含参数导数题型规律总结（3）文（含解析）

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1、专题19含参数导数题型规律总结（3）一、本专题要特别小心：1.图形考虑不周陷阱；2.思维定式陷阱（与等式有关的构造函数）；3.已知条件中含有导函数值而无从下手；4.恒成立中的最值陷阱5.含有导函数的式子中的和差构造陷阱6.与三角函数有关的构造函数7.忽视分母造成解集不完备8.与指数函数对数函数有关的构造二．【知识点】1.函数的极值(1)若可导函数f(x)在x＝x0处导数值为0，且在x＝x0处的左边f′(x0)＞0，在x＝x0处的右边f′(x0)＜0，则f(x)在x＝x0处有极大值.(2)若可导函数f(x)在x＝x0处导数值为0，且在x＝x0处的左边f′(x0)＜0，在x＝

2、x0处的右边f′(x0)＞0，则f(x)在x＝x0处有极小值.(3)可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点不一定是极值点，如y＝x3在x＝0处导数值为零，但x＝0不是极值点.2.函数的最值(1)连续函数f(x)在闭区间[a，b]上必有最大值与最小值.(2)最值的求法：先求f(x)在(a，b)上的极值，再将各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.3.极值与最值的区别和联系(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是函数在整个区间上的函数值的比较.(2)函数的极值不一定是

3、最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值.(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值(单峰函数)，则极大值即是[a，b]上的最大值，极小值即是[a，b]上的最小值.三．【题型方法总结】（一）导数与不等式证明例1.已知函数的图象在处的切线过点．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数有两个极值点，．证明：．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】由题意的定义域是，，故，，故切线方程是：，又切线过，故，解得：，故；Ⅰ，当时，，在递增，当时，令，解得：或舍，在递增，在递减，综上，时，在递增，时，在递增，在递减；Ⅱ证明：，故，有两个极值点，，即有2个相异实根，，，，即，，令

4、，，，，在递减，，．练习1．已知函数．（1）当时，判断函数的单调性；（2）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明．【答案】（1）在上单调递增；（2）详见解析.【解析】（1）时，，故，在上单调递增．（2）由题意可知有两解，设直线与相切，切点坐标为，则，解得，，即．∴实数的取值范围是．不妨设，则，两式相加得：，两式相减得：，，故，要证，只需证，即证，令，故只需证在恒成立即可．令，则，∴在上单调递增，，即在恒成立．．练习2．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设，求证：（参考数据：）．【答案】(1)单调递减区间为；函数单调递增区间为．；(2)见证明【解析】（1

5、）解：，∴时，，函数单调递减；时，，函数单调递增．所以单调递减区间为；函数单调递增区间为．（2）证明：.∴由（1）得当时，函数单调递增，函数在上单调递增，故在单调递增．∵，，存在，使得.当时，，当时，，∴在单调递减，在单调递增，∴当时，函数取得极小值即最小值．∴因为函数与在上单调递减，所以在上单调递减，且，∴.（二）参数讨论例2.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，即，（1）当时，，当时，，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以。当时，在上恒成立；综上可知，的取值范

6、围是，故选C。练习1.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若方程有两个不相等的实数根，求证：【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）.当时，，函数在上单调递增，所以函数的单调增区间为.当时，由得；由得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）因为是方程的两个不等实根，所以.不妨设，则，，两式相减得,即.又，当时，；当时，.故只要证明即可，即证，即证,即证.设，令，则,则在为增函数，又,所以时，总成立，得证.（三）导数与数列例3.已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）证明：（，且）.【答案】（Ⅰ）在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）见证明【解析】（Ⅰ）函数的定义域

7、为，.∵在上，，在上，.∴在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，即，当且仅当时取等号.从而，，，…，，∴，∴，∴.练习1.设函数，对于，都有成立.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：（其中是自然对数的底数）.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明【解析】（Ⅰ），当时，由，得，由，得，在上单调递增，在上单调递减.，都成立，.又，所以由，得.；的取值范围是.（Ⅱ）当时，，即..当时，.令，则.且时，.，.；即恒成立.练习2.已知函数，.（1）若，在上恒成立，求的取值范围；（2）设数列，为数列的前项和，求证：；（3）当时，设函数的图