2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.3 直线与圆的方程的应用练习（含解析）新人教A版必修2

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1、4.2.3　直线与圆的方程的应用A组1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)的位置是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都不对解析:由题意<1,即a2+b2>1,所以点P(a,b)在圆外.答案:B2.直线x+y-2=0截圆x2+y2=4得到的劣弧所对的圆心角为(　　)A.30°B.45°C.60°D.90°解析:∵圆心到直线的距离为d=,圆的半径为2,∴劣弧所对的圆心角为60°.答案:C3.已知圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l对称,则直线l的方程是(　　)A.x-2y+1=0B.2x-y-

2、1=0C.x-y+3=0D.x-y-3=0解析:圆x2+y2=4的圆心是O(0,0),圆x2+y2-6x+6y+14=0的圆心是C(3,-3),所以直线l是OC的垂直平分线.又直线OC的斜率kOC=-1,所以直线l的斜率k=1,OC的中点坐标是,所以直线l的方程是y+=x-,即x-y-3=0.答案:D4.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(　　)A.10B.20C.30D.40解析:圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1.根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为

3、2=4,所以四边形ABCD的面积为

4、AC

5、

6、BD

7、=×10×4=20.答案:B5.若P(x,y)在圆(x+3)2+(y-3)2=6上运动,则的最大值等于(　　)A.-3+2B.-3+C.-3-2D.3-2-5-解析:设=k,则y=kx.当直线y=kx与圆相切时,k取最值.所以,解得k=-3±2.故的最大值为-3+2.答案:A6.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是　　　　　. 解析:由题意知,圆心(0,0)到直线的距离小于1,即<1,

8、c

9、<13,-13

10、1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短距离是　　　　. 解析:圆C的圆心坐标为(2,3),半径r=1.点A(-1,1)关于x轴的对称点A'的坐标为(-1,-1),因A'在反射线上,所以最短距离为

11、A'C

12、-r,即-1=4.答案:48.若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是　　　　. 解析:两圆圆心分别为O(0,0),O1(m,0),且<

13、m

14、<3.又易知OA⊥O1A,∴m2=()2+(2)2=25,∴m=±5,∴

15、AB

16、=2×=4.答案:49.已知实数x,y满足方程x2

17、+y2-4x+1=0,求:(1)的最大值;(2)y-x的最小值.解:将实数x,y看作点P(x,y)的坐标,满足x2+y2-4x+1=0的点P(x,y)组成的图形是以M(2,0)为圆心,为半径的圆,如图.(1)设=k,即是圆上的点P与原点O连线的斜率.由图知,直线y=kx和圆M在第一象限相切时,k取最大值.-5-此时有OP⊥PM,

18、PM

19、=,

20、OM

21、=2,∴∠POM=60°.此时k=tan60°=,∴的最大值为.(2)设y-x=b,则y=x+b,b是直线y=x+b在y轴上的截距.由图知,当直线y=x+b和圆M在第四象限相切时,b取最小值,此时有(b<0),解得b=--2,∴y-x的最小值是--

22、2.10.有一种大型商品,A,B两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每千米的运费A地是B地的两倍,若A,B两地相距10千米,顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点?解:以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,如图所示.设A(-5,0),则B(5,0).在坐标平面内任取一点P(x,y),设从A地运货到P地的运费为2a元/千米,则从B地运货到P地的运费为a元/千米.若P地居民选择在A地购买此商品,则2a

23、理可推得圆C外的居民应在B地购物.圆C上的居民可随意选择A,B两地之一购物.B组1.某公园有A,B两个景点,位于一条小路(直道)的同侧,分别距小路km和2km,且A,B景点间相距2km(A在B的右侧),今欲在该小路上设一观景点,使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果,则观景点应设在何处?解:所选观景点应使对两景点的视角最大.由平面几何知识可知,该点应是过A,B两点的圆与小路所在的直线相切时-5-的切点.