专题3.1 导数以及运算、应用-2015版3-2-1备战2016高考精品系列之数学(理)(解析版)

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第三章 导数专题1 导数以及运算、应用(理科)【三年高考】1.【2015高考福建,理10】若定义在上的函数 满足 ,其导函数 满足 ,则下列结论中一定错误的是( )A. B. C. D. 【答案】C2.【2015高考新课标2,理12】设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是( )A.    B.C.    D.【答案】A[来源:学*科*网]【解析】记函数,则,因为当时,,故当时,,所以在单调递减;又因为函数是奇函数,故函数是偶函数,所以在单调递减,且.当时,,则;当时,,则,综上所述,使得成立的的取值范围是,故选A.3.【2015高考新课标1,理12】设函数=,其中a1,若存在唯一的整数,使得0,则的取值范围是( )(A)[-,1) (B)[-,) (C)[,) (D)[,1)【答案】D[来源:Z_xx_k.Com]4. 【2015高考新课标1,理21】已知函数f(x)=.(Ⅰ)当a为何值时,x轴为曲线 的切线;(Ⅱ)用 表示m,n中的最小值,设函数 ,讨论h(x)零点的个数.【解析】设曲线与轴相切于点,则,,即,解得.因此,当时,轴是曲线的切线. (Ⅱ)当时,,从而, ∴在(1,+∞)无零点. 当=1时,若,则,,故=1是的零点;若,则,,故=1不是的零点.当时,,所以只需考虑在(0,1)的零点个数.5.【2015高考新课标2,理21】设函数.(Ⅰ)证明:在单调递减,在单调递增;(Ⅱ)若对于任意,都有,求的取值范围.【解析】(Ⅰ).若,则当时,,;当时,,.若,则当时,,;当时,,.所以,在单调递减,在单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的,在单调递减,在单调递增,故在处取得最小值.所以对于任意,的充要条件是:即①,设函数,则.当时,;当时,.故在单调递减,在单调递增.又,,故当时,.当时,,,即①式成立.当时,由的单调性,,即;当时,,即.综上,的取值范围是.6.【2014江西高考理第14题】若曲线上点处的切线平行于直线,则点的坐标是________.【答案】【解析】设切点,则由得:,所以点的坐标是.7. 【2014陕西高考理第10题】如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为( ) (A) (B) (C) (D)【答案】【解析】由题目图像可知:该三次函数过原点,故可设该三次函数为,则,由题得:,,.即,解得,所以,故选.8. 【2014高考辽宁理第21题】已知函数,.证明:(Ⅰ)存在唯一,使;(Ⅱ)存在唯一,使,且对(1)中的.9. 【2014高考大纲理第22题】函数.(I)讨论的单调性;(II)设,证明:.【解析】(I)的定义域为.(II)由(I)知,当时,在是增函数.当时,,即.又由(I)知,当时,在上是减函数;当时,,即.下面用数学归纳法证明.(i)当时,由已知,故结论成立;(ii)假设当时结论成立,即.当时,,即当时有,结论成立.根据(i)、(ii)知对任何结论都成立.[来源:Z,xx,k.Com]10. (2013年高考福建卷理科8)设函数的定义域为R,是的极大值点,以下结论一定正确的是( )A. B.是的极小值点 C. 是的极小值点 D.是的极小值点 [答案]D[解析]对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值,所以错;对于B中的是将的图像关于Y轴对称,所以是其极大值点;对于C中的是将的图像关X轴对称,所以才是其极小值点;而对于D中的是将的图像关原点对称,故是其极小值点,故正确.11. (2013年高考北京卷理科18)设l为曲线C:在点(1,0)处的切线.(I)求l的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方12.(2013年高考山东卷理科21)已知函数(是自然对数的底数,).(Ⅰ)求的单调区间、最大值;(Ⅱ)讨论关于的方程根的个数.【解析】(Ⅰ)当时,;当时所以的单调递增区间为,单调递减区间为,(Ⅱ)通过图象可对进行讨论:当即时,函数的图象有两个交点,即方程有两个根.当即时,函数的图象有一个交点,即方程有一个根.显然当时,方程没有根.解法二 (Ⅰ),由,解得,当时,,单调递减,所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是,最大值为①当时,由(Ⅰ)知:要使,只需使,即;②当时,由(Ⅰ)知:;要使,只需使,即;所以当时,有两个零点,故关于的方程根的个数为2;综上所述:当时,关于的方程根的个数为0;当时,关于的方程根的个数为1;当时,关于的方程根的个数为2.【2016年高考命题预测】导数的几何意义与导数的应用是高考的热点,年年都出题,题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度中档左右,解答题作为把关题存在,在考查导数的概念及其运算的基础上,又注重考查解析几何的相关知识.导数是研究函数的工具,导数进入新教材之后,给函数问题注入了生机和活力,开辟了许多解题新途径,拓展了高考对函数问题的命题空间.所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情,对函数的命题已不再拘泥于一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等,对研究函数的目标也不仅限于求定义域,值域,单调性,奇偶性,对称性,周期性等,而是把高次多项式函数,分式函数,指数型,对数型函数,以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象,试题的命制往往融函数,导数,不等式,方程等知识于一体,通过演绎证明,运算推理等理性思维,解决单调性,极值,最值,切线,方程的根,参数的范围等问题,这类题难度很大,综合性强,内容新,背景新,方法新,是高考命题的丰富宝藏.解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想.在2016年高考仍将以导数的几何意义为背景设置成的导数的综合题为主要考点.也有可能利用导数的几何意义出一道中等难度试题,如求切线,或求参数值,重点考查运算及数形结合能力,以及构造新函数等能力.【2016年高考考点定位】高考对导数的考查主要有导数的运算,导数的几何意义,利用导数判断单调性,求最值,证明不等式,证明恒成立,以及存在性问题等,难度较大,往往作为把关题存在.考点一、导数的基本运算【备考知识梳理】1.常见函数的求导公式.(1)(C为常数);(2);(3);(4);(5);(6);(7)且;(8).2.两个函数的和、差、积的求导法则法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即: (法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: 法则
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