非线性方程地数值计算方法实验

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1、实用标准非线性方程的数值计算方法实验【摘要】在利用数学工具研究社会现象和自然现象,或解决工程技术等问题时,很多问题都可以归结为非线性方程的求解问题,无论在理论研究方面还是在实际应用中,求解非线性方程都占了非常重要的地位。综合当前各类非线性方程的数值解法,通过比较分析,二分法,迭代法,牛顿—拉夫森方法,迭代法的收敛阶和加速收敛方法,以上的算法应用对某个具体实际问题选择相应的数值解法。关键词非线性方程;二分法;迭代法;牛顿-拉夫森法;割线法等。一、实验目的通过本实验的学习,应掌握非线性方程的数值解法的基本思想和原理,深刻认识现实中非线性方程数值的意义;明确代数精度

2、的概念;掌握二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法、割线法等常用的解非线性方程的方法;培养编程与上机调试能力。二、实验原理二分法:单变量函数方程:f(x)=0其中,f(x)在闭区间[a,b]上连续、单调,且f(a)*f(b)<0,则有函数的介值定理可知,方程f(x)=0在(a,b)区间内有且只有一个解,二分法是通过函数在区间端点的符号来确定所在区域,将有根区间缩小到充分小,从而可以求出满足给定精度的根的近似值。下面研究二分法的几何意义:设=1,=b,区间,中点=及,若=0,则,若f()*f()<0,令=,=,则根[,]中,这样就得到长度缩小一半的有根区间[,],若f

3、()*f()<0,令=,=,则根[,]中,这样就得到长度缩小一半的有根区间[,],即f()f()<0,此时-=,对有根区间[,]重复上述步骤,即分半求中点,判断中电处符号,则可得长度有缩小一半的有根区间[,],文档大全实用标准如图所示:重复上述过程,第n步就得到根的近似序列及包含的区间套,如下:(1)(2)(3)-==…=(4)且

4、-

5、(n=1,2,3…..)显然lim,且以等比数列的收敛速度收敛于,因此用二分法求f(x)=0的实根可以达到任意指定精度。(二)迭代法:对给定的方程,将它转达换成等价形式:。给定初值,由此来构造迭代序列,如果迭代法收敛,即,有,则

6、就是方程的根。在计算中当小于给定的精度控制量时,取为方程的根。文档大全实用标准(三)牛顿迭代法:设方程f(x)=0在其根的某个领域U(,)内有一阶连续导数,且f’()≠0。求f(x)=0的根,首先要将f(x)=0转化为等价形式,并使(x)满足不动点迭代的一般理论。于是我们令(x)=x+h(x)f(x),可由‘()=0来确定h(x)的结构,根据’(x)=1+h’()f()+h()f’(x1)=1+h()f’()=0可得h()=-1/f’(),由于f’(x)≠0,且f’(x)连续,因此当h(x)=-1/f’(x)时,h’(x1)=0,即令(x)=x-f(x)/f‘

7、(x),从而有迭代格式=(k=0,1,2,…..)由于,,…….都在U领域里,从而当B比较小时,可用f’()可近似代替f’(),=-,此方法称为牛顿迭代法。(四)割线法:设,为方程f(x)=0的两个近似根。用差商得:f()-f()/-,代替牛顿迭代公式中的导数f’(),于是得到如下的迭代公式:=-。下面研究割线法的几何意义:经过点(,f())及点(,f())两点作割线,其点斜式方程为:Y=f()-,其零点为X=-把X用表示即得到迭代格式,需要两个初值此割线与X轴交点的横坐标就是新的近似值,如图所示。文档大全实用标准三、实验内容(一)、实验描述1.P40.1:参

8、照程序2.1求解出单调收敛的不动点。2.P49.1:已知初值,时间和末值,求解汇率。4.P69.1:已知运动方程求解运动时间和距离。(二)、实验题目1.使用程序2.1求解下面每个函数的不动点(尽肯能多)近似值,答案精确到小数点后12位。同时,构造每个函数的图和直线y=x来显示所有不动点。(d)2.如果在240个月内每月付款300美元,求解满足全部现金A为500000美元的汇率I的近似值(精确到小数点后10位)。4.设投射方的运动程为(a)求当撞击地面时经过的时间,精确到小数点后10位。文档大全实用标准(a)求水平飞行行程,精确到小数点后10位。四、实验结果及分

9、析1.P40.1(d):算法:(1)输入函数g,p0,tol,max1,令k=2。(2)判断k>max1是否成立,如成立输出结果,如不成立,执行(3)。(3)令p(k)=g(p(k-1)),err=

10、p(k)-p(k-1)

11、。(4)判断errmax1YNLetp(k)=g(p(k-1));err=

12、p(k)-p(k-1)

13、k=k+1err

14、当输入[k,p,err,P]=fixp

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