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1、第六讲导数及其应用考点一：导数概念与运算(一)知识清单1.导数的概念函数y二f(x),如果自变量x在X。处有增量4「那么函数y相应地有增量Ay=f(x0+Ar)-f(x0),比值型叫做函数y=f(x)在X。到x°+Ar之间的平均变化率，即ArAy=./(.r()+Ar)-/(.v0)如果当心-0时，型有极限，我们就说函数y=f(x)在点x°心心Ax处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x°处的导数，记作f，(x°)或y'丨*花。即『(X。)二lim冬二lim込址如。心->0心attoAr2.导数的儿何意义函数y二f(x)在点x°处的导数的几何意义是曲线y二f(x)在点p(x0,f(
2、x。))处的切线的斜率。也就是说，曲线y二f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率是f'(x0)o相应地，切线方程为y—y0=fz(x0)(x—x0)o3.几种常见函数的导数：①C'=0;②(x")=刃兀心；③(sin^y=cosx;④(cosx)'二一sinx;⑤(C=g';⑥(d'y=°Tna；⑦(lnx)二丄；⑧(log“x)=—log(/e.xx4.两个函数的和、差、积的求导法则I1■(W±V)=U±V.(wv)=uv+uv.若C为常数，贝ij(Cw)=Cu+Cu=0+Cu=Cu.即：(Cw)=Cu.US0)。6丿v2形如y二fb(x)］的函数称为复合函数。复合函
3、数求导步骤：分解一一求导一一冋代。法则:x=y(二)典型例题分析题型一：导数的概念及其运算:例1：设yw、g(x)分別是定义在r上的奇函数和偶函数，当xvo时j'(x)g(x)+/'(兀)g‘o)>0.且g(3)=0.则不等式Xx)g(x)<0的解集是()A.(-3,0)U(3,+oo)B.(-3,0)U(0,3)C.(-00,-3)U(3,+oo)D.(-00,-3)U(O,3)题型二：导数的几何意义①已知切点，求曲线的切线方程；注：此类题较为简单，只须求出曲线的导数fx),并代入点斜式方程即可.例1・曲线y=?-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为()A.y=3x-4B
4、・y=—3x+2C.y=-4x+3D.y=4x-5②己知斜率，求曲线的切线方程；注：此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决.例2・与直线2x-)，+4=0的平行的抛物线〉，=兀2的切线方程是()D.2x-y-=0B.2x-y-3=0C.2x—y+1=0③已知过曲线外一点，求切线方程；此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法來求解.例3・求过点(2,0)11与曲线y=丄相切的直线方程.X变式1、已知函数y=f(x)的图象在点M(l,/(I))处的切线方程是y二+兀+2,则/(!)+/(!)=变式2、函数/(X)的團像如團所示，下列数值排序正确的是()A.0今⑵今⑶
5、(3)-/(2)B.0今⑶0,则/(兀)为增函数;如果/(x)<0,则/(兀)为减函数；如果在某区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数;2.极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3.最值：-般地，在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。①求函数
6、/(X)在(a,b)内的极值；②求函数/(X)在区间端点的值/(a)、/(b)；③将函数/⑴的各极值与/(a),/(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。(二)典型例题分析题型一：单调性例4：函数f(x)=x-e'x的一个单调递增区间是()A.[-1,0]B.[2,8]C.[1,2]D.[0,2]变式1：已知函数^=—%3+%2+av-5(1)若函数的单调递减区间是(-3,1),则d的是.⑵若函数在[l,+oo)上是单调增函数，贝忆的取值范围是例5：设函数/（兀）=兀'+似2-9兀-1（。＜0）若曲线y=/（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：（I）&的
7、值；（II）函数f（x）的单调区间.例6：己知函数/（兀）"+处2+分+1（恥/?）,函^y=f（x）的图像在点P（l，/（1））的切线方程是y=%+4.（I）求函数/（兀）的解析式；（2）kk+二（II）若函数/（兀）在区间（?3丿上是单调函数，求实数R的取值范围.题型二：极值与最值例7：求函数y（x）=^-x3-4x+4的极值.函数/（X）的定义域为开区间（a,b）,导函数/'（对在（a,b）内的图象如图所示，则求函数/（x）=-x3-4x+4在［0,3］上的最大值与最小值.
