北航理论力学

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1、2021/7/151作业：5-4、5-8、5-27第二类Lagrange方程2021/7/152动力学普遍方程ABC系统的虚位移上次课讲的动力学普遍方程：ABC探究新方法2021/7/153§5-2拉格朗日方程设：具有完整理想约束的非自由质点系有k个自由度系统的广义坐标为：T为系统的动能，可表示成：为对应于广义坐标的广义力方程的推导见:教材《动力学》P140-1422021/7/154§5-2拉格朗日方程例：建立质量为m的质点在重力作用下的动力学方程。1、系统的自由度为k=32、系统的广义坐标：3、系统的动能解：4、系统的广义力2021/7/155§5-2拉格朗日方程ABC例题:

2、长为L，质量为m的均质杆AB绕水平轴自由转动，求其动力学方程。1、系统的自由度为k=12、系统的广义坐标：3、系统的动能解：4、系统的广义力2021/7/156§5-2拉格朗日方程第二类拉格朗日方程几种形式1、当主动力均为有势力时设：L＝T-V（拉格朗日函数）2021/7/157§5-2拉格朗日方程ABC例题:长为L，质量为m的均质杆AB绕水平轴自由转动，求其动力学方程。1、系统的自由度为k=12、系统的广义坐标：3、系统的动能解：4、系统的势能5、Lagrange函数：2021/7/158§5-2拉格朗日方程2、当主动力部分为有势力时设：L＝T-V（拉格朗日函数）应用Lagra

3、nge方程建立系统动力学方程的基本步骤：1、确定系统的自由度和广义坐标；2、用广义速度和广义坐标给出系统的动能和势能；3、给出系统的拉格朗日函数；4、确定系统的非有势力的广义力。2021/7/159§5-2拉格朗日方程解：1、求系统的动能和势能(拉格朗日函数)例：图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统运动微分方程。AB＝2L2021/7/1510§5-2拉格朗日方程2、求非有势力的广义力3、建立系统运动微分方程方程的物理意义？2021/7/1511§5-2拉格朗日方程例：双摆杆长为1m，质量为1kg，扭簧刚度k=11.4Nm/rad,当时扭簧无变形。求系统

4、运动微分方程并数值仿真。解：1、确定系统的广义坐标2、求系统的动能和势能(拉格朗日函数)2021/7/1512§5-2拉格朗日方程3、建立系统运动微分方程2021/7/1513§5-2拉格朗日方程数值仿真2021/7/1514§5-2拉格朗日方程2021/7/1515动力学的基本方法牛顿定律动量定理动量矩定理动能定理达朗贝尔原理--动静法虚位移原理动力学普遍方程和拉格朗日方程2021/7/1516§5-3拉格朗日方程的首次积分一、质点系动能的结构当当AB对于具有非定常约束的质点系，若自由度为k,则：2021/7/1517§5-3拉格朗日方程的首次积分对于定常约束的质点系有：系统的

5、动能：2021/7/1518§5-3拉格朗日方程的首次积分已知非定常约束则系统的自由度为k=1系统的广义坐标：系统的动能为：2021/7/1519§5-3拉格朗日方程的首次积分设：系统主动力为有势力循环坐标：拉格朗日函数L中不显含的广义坐标拉格朗日函数表示成：二、循环积分则：该式称为循环积分称为对应于广义坐标的广义动量证明：当主动力为有势力时，系统的Lagrange方程为若Lagrange函数L中不显含广义坐标2021/7/1520§5-3拉格朗日方程的首次积分三、能量积分如果保守系统拉格朗日函数中不显含时间t，则：该式称为Lagrange方程的广义能量积分n次齐函数的欧拉定理：

6、设是的n次齐次函数，则：设：系统主动力为有势力2021/7/1521§5-3拉格朗日方程的首次积分对于具有定常约束的保守系统有：如果保守系统拉格朗日函数中不显含时间t，2021/7/1522§5-3拉格朗日方程的首次积分例：给出系统拉格朗日方程的首次积分。解：系统的主动力为有势力系统的动能和势能分别为拉格朗日函数中不显含广义坐标x和时间t系统的水平动量守恒系统的机械能守恒2021/7/1523§5-3拉格朗日方程的首次积分例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统的首次积分。AB=LAB解：系统的主动力均为有势力分析系统的动能和势能

7、拉格朗日函数中不显含广义坐标x和时间t2021/7/1524§5-3拉格朗日方程的首次积分系统的什么广义动量守恒？AB研究整体：（1）研究圆盘：（2）2021/7/1525第二类拉格朗日方程的总结对于具有完整理想约束的质点系，若系统的自由度为k，则系统的动力学方程为：其中：T：为系统的动能，V：为系统的势能：为对应于广义坐标的非有势力的广义力当系统为保守系统时，有：1：若系统存在循环坐标，则：2：若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则：2021/7/1526§5-3拉格朗日方程的首