电磁场与电磁波 第5章 平面电磁波

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1、第五章平面电磁波随时间变化的电荷、电流所激发的电场、磁场也随时间变化。随时间变化的电磁场简称为时变场。由麦克斯韦方程组可知，变化的电场和变化的磁场可以相互激发，从而时变电磁场可以脱离场源以波动的形式向远处传播。预言电磁波的存在是麦克斯韦方程组的重要成果之一。本章讨论电磁波被场源激励出来以后，远离场源在空间中的传播。该问题是无源空间中麦克斯韦方程组的解。我们首先由麦克斯韦方程组导出电磁波动方程，然后讨论平面电磁波在无界均匀介质中的传播特性。5.1无源空间的电磁波动方程设空间充满各向同性非导电均匀介质，并且无电荷、电流分布。利用介质的本构方程，该无源空间的麦克斯韦方

2、程组可写为对式(5-1-1)取旋度，并利用式(5-1-2)，有（5-1-1）（5-1-2）（5-1-3）（5-1-4）再利用矢量恒等式，及式(5-1-3)，可得（5-1-5）同理可导出（5-1-6）式(5-1-5)、(5-1-6)是齐次波动方程，这表明，在时变情况下，电场与磁场皆以波动的形式在空间传播。由式(5-1-1)和(5-1-2)，时变的电场和磁场可以互相激发。因此，时变电场和时变磁场构成不可分割的统一场——电磁场，电磁场以波动的形式在空间传播，这就是电磁波。与标准齐次波动方程相比较，可得电磁波在介质中的传播速度为在真空中即为求解无源区域内的电磁波，通常采

3、用下列形式的方程组：或（5-1-7a）（5-1-7b）（5-1-8a）（5-1-8b）与标准齐次波动方程相比较，可得电磁波在介质中的传播速度为5.2时谐电磁场的复数表示时谐电磁场场矢量的每一个分量都随时间按正弦或余弦形式变化。时谐场在工程实践中最常用，而且，任何周期性或非周期性的电磁场都可以分解为许多不同频率的时谐场的叠加。以下我们只讨论时谐电磁场。5.2.1时谐电磁场量的复数表示1．场量的复数表示在直角坐标系中，单一频率的时谐场电场强度的每一个分量为（5-2-1）时谐量用复数表示更为方便：（5-2-2）于是有（5-2-3）为简便起见，采用记号来表示上式中方括号

4、内的和：（5-2-4）称为电场强度复矢量，它仅是空间坐标的函数。这样，式(5-2-3)可表为（5-2-5）称为电场强度的复数表示。可见，在复数表示中，空间坐标与时间是分离的。这样有利于微积分运算。为书写方便，以后记复电磁场量时省去其上方的复数符号~，简写为还常常省略，仅记为。同理，时谐场的其它场量如D、B、H、J、，都可用复数类似地表示。电磁场的能量密度和坡印廷矢量S=EH都是电磁场量的二次式，计算它们的瞬时值，只能代入场量的瞬时表达式，而不能用场量的复数表示代入计算后再取实部。在实际中，更有意义的是它们的时间平均值，时间平均值可以很方便地用复数表示。为此，

5、先讨论时谐函数二次式求时间平均值的一般表达。（5-2-7）2．复能量密度复坡印廷矢量设两个时谐函数分别为它们的乘积在一周期内的平均值为显然有所以，时谐函数二次式对时间的平均值用复数表示为（5-2-8）按式(5-2-8)，平均电场能量密度、磁场能量密度，平均坡印廷矢量以及平均损耗功率密度分别为：（5-2-9）上各式括号中的量分别称为复电场能量密度、复磁场能量密度、复坡印廷矢量和复损耗功率密度，它们均与时间无关，其实部分别为电场能量密度、磁场能量密度、坡印廷矢量以及损耗功率密度的时间平均值。（5-2-10）（5-2-11）（5-2-12）【例5.2.1】将下列场矢量

6、的瞬时表示式、复数表示式互相变换。解：(1)因为所以(2)因为所以(3)5.2.2场方程的复数形式利用场量的复数表示以及微分、积分运算与复数的取实部可以交换顺序，可以得到，对于单一频率的时谐场，麦克斯韦方程组的复数形式为在各向同性均匀非导电介质的无源区域内，利用本构方程，麦克斯韦方程组变为（5-2-17b）（5-2-17c）（5-2-17d）（5-2-17a）（5-2-18d）（5-2-18a）（5-2-18b）（5-2-18c）由此可以导出时谐场的复数形式波动方程为（5-2-19a）其中。上述方程也称为齐次亥姆霍兹方程。或（5-2-19b）因此，对于时谐场，在

7、各向同性均匀介质的无源区域内，与式(5-1-7)和(5-1-8)相应的方程为（5-2-20b）（5-2-20a）（5-2-21b）（5-2-21a）5.2.3复介电常数和复磁导率在时谐场作用下，表征介质电磁特性的参量——介电常数、磁导率一般为复数，且其实部和虚部都是频率的函数，即式中，’、”、’、”都是正数。复介电常数的虚部反映介质的极化损耗；复磁导率的虚部反映介质的磁化损耗。以极化为例来说明这一点。由式(5-2-12)可得，单位体积极化损耗功率的时间平均值为（5-2-22）（5-2-23）复介电常数、复磁导率的幅角的正切称为损耗角正切，即（5-2-

8、24）对于理想的无损耗介