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1、包头师范学院2012-2013学年第一学期期末考试课试卷考试科目计算物理成绩院系物理学院专业10级本一姓名张艳有任课教师签名:院系负责人签名:四阶龙格一库塔算法及C语言程序设计物理科学与技术学院10级物理系一班1009320036张艳有摘要木文叙述了四阶龙格一库塔算法的C语言实现过程、数据存储及其结果并以具体实例说明了这一过程。关键词龙格一库塔算法数据存储例题程序设计计算结果弓I言口在科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题，这就需要一种合适的数值解法求出常微分方程的解。在诸多数值算法屮龙格一库塔算法具有较高的精确度，是一种优先选取的
2、算法。具体内容一、四阶龙格一库塔算法简述从常微分方程数值解法的几何意义看，欧拉方法取一点匚处的斜率作为平均斜率，因此欧拉方法近似公式为Qn+l=0+k't向后的欧拉方法则采用点0+1处的斜率“2=f(fn+l^Qn+1)作为平均斜率，即Qn+l=Qn+k?"所以这两种方法也称作矩形法。改进的欧拉方法则取点处和点/曲处斜率心和灯的平均值作为平均斜率，即2+1=Qn+1（*1+爲）卜因此改进的欧拉方法乂称为梯形方法。可以预见，若去多点处斜率的加权平均值作为平均斜率，误差会更小，这就是龙格-库塔方法。最常用的是四阶龙格库卡近似计算公式，W：
3、0+i=Qn++2k2+2k3+褊)d6式中k=f亿，Qn)n+—Azk2丿褊=/亿+1©+乂3）其屮：Ar表示计算过程屮选取的步长；K1表示兀”点处的斜率；K2表示利用K1求得的（乙+空〕点处的斜率;I2丿K3表示利用K2求得的1点处的斜率；I2）K4表示利用K3求得的（£+&）点处的斜率；二、使用标准四阶龙格——库塔法求解初值问题实例1、用标准四阶龙格——库塔法求解yf=2xy(0k2(0.2,儿+?k2Iz丿'0.2,)严29(儿+
4、0.2心)Q2儿+】=yn+W(“1+2*2+2*3+kj2、计算所用程序如下所示ttinclude"stdio.h〃#inelude"conio.h〃floatfunc(floatx,floaty){return(2*x*y);}floatrungc_kutta(floatxO,floatxn,floeityO,intn){~floatx,y,yl,y2,h,xh;floatdl,d2,d3,d4;inti;x=xO;y=yO;h=(xn-x0)/n;for(i=l;i<=n;i++){xh二x+h/2;dl=func(x,y);d2
5、=func(xh,y+h*dl/2.0);d3=func(xh,y+h*d2/2.0);d4=func(xh,y+h*d3);y二y+h*(dl+2*d2+2*d3+d4)/6.0;x=x0+i*h;}return(y);}voidmain(){floatxO,xn,yO,e;intn;printf（〃inputn:〃）；scanf（〃％cT,&n）;printf（"inputxO,xn:〃）；scanf（〃％f%f〃,&xO,&xn）;printf（z，inputyO:〃）；scanf（〃％f",&yO）;e=rung
6、e_kutta（xO,xn,yO,n）;printf（z，y（%f）=%6.6f〃，yO,e）;}3、部分计算结果如图所示DOSBox0.72,CpuCycles:max.Frameskip0fProgram:TC5inputxO^xii:inputyO：0卩npiit5input0xCLxn：input1inputxO»xn:inputinputzk2.000000）=5.257334Inputn:yO：三、结束语利用c语言可方便地实现四阶龙格一库塔算法，这对于科学技术中所遇到的常微分方程的求解具有重要意义。参考文献：物理学与计算物理
7、，物理学与计算机翻译组译，北京：科学出版社，1986计算机数值计算方法，计九三译，北京清华大学出版社，1987
