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1、求解递推数列通项公式的策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或筹比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式例1已知数列｛
2、%｝满足an+1=2an+3-2n,a,=2,求数列｛%｝的通项公式。解：an+1=2an+3-2n两边除以2n°得貓贽+斗则^n_=32n"2故数列｛皿｝是以斗=2=1为首，以色为公差的等差数列，山等差数列的通项公式，得2n2122qQQ]-f=l+(n-l)-,所以数列｛an｝的通项公式为an=(-n--)2n。2222评注：本题解题的关键是把递推关系式an+I=2an+3.2n转化为時_牛=色，说明数列222｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出牛=1+(n-1)丄，进而求出数列｛an｝222的通项公式。二、利用累加法求通项公式例2已知
3、数列％｝满足an+1=an+2n+l,a,=1,求数列｛a“｝的通项公式。W：illan+I=an+2n+1^an+l-an=2n+1则an=(an-an_I)+(an_1-an_2)+•••+(a3-a2)+(a2-aj+a】=[2(n-1)+1]+[2(n一2)+1]+…+(2•2+1)+(2•1+1)+1=2l(n一1)+(n-2)+…+2+1]+(n-1)+1c(n-l)nz八.=2・+(n—1)+12所以数列｛a.｝的通项公式为an=n2评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+2n+l转化为an+1-an=2n+l,进而求11!(an
4、—an_
5、)+(an_
6、—an_2)+•••+(^3—a?)+(a?一aj+,即得数列｛a」的通项公式。例3已知数列｛%｝满足an+1=an+2-3n+l,a,=3,求数列｛_｝的通项公式。解：rhan+j=an+2・3"+1得an+J—an=2•3n+1贝a口=(a口_a叶
7、)+(an_]_an_2)+…+(a3_a2)+(a2_a
8、)+a〕=(2-3n-1+l)+(2・3"-2+1)+...+(2.32+1)+(2•3】+1)+3=2(3n_,+3n_2+•••+32+31)+(n-l)+3所以g=2•上丄+n+2=3"+n-ln1-3评注：本题解题
9、的关键是把递推关系式an+1=an+2-3n+l转化为an+I-an=2•3n4-1,进而求出@n一an_i)+(an_i-an_2)+…+@3-a2)+(a2一aj+a】,即得数列｛a“｝的通项公式。例4已知数列bn｝满足an+1=3an+2-3n+1,a】=3,求数列｛a“｝的通项公式。3n33n+1吟哼瓷）+亡一2)+(*n-2_311-2311-231】-3)+•••+(汩診+寸al(-+—)+(-+-^)+(-33"33n_l3+厶)+・・・+已异3n"23323沁2+丄+丄+丄+丄33n3n3n_13n~2+•••+—)+132因此亠=32(
10、n-1)13"1-(l-3n_,)1=1-332n11122-3n评注：木题解题的关键是把递推关系式=3an+2・3"an-2x.宀-2n-2进而求出（仏―毛）+（冲—辱）+（?3"3口一3°~~3"一23"_2^2-=-+—3n33n+1a+1转化为一3—斗）+乞，即得数列｛4｝的3*33n解：an+1=3an+2孑+1两边除以3n+,,得鬻通项公式，最厉再求数列｛a“｝的通项公式。三、利用累乘法求通项公式例5已知数列｛“｝满足an+1=2(n+l)5n-an,a,=3,求数列｛a.｝的通项公式。解：因为an+I=2(n+l)5n-an,a.=3,所以
11、an^0，则也=2(n+l)5“，则-二亠an-lan-2a3a2a2aiai=[2(n-l+l)5n_I]-[2(n-2+l)5n_2]---[2-(2+l)-52]-[2-(14-l)-5l]-3=2n_1-[n-(n-l)••…3•2]•5(n~1)+(n_2)+-+2+1-3n(n-l)所以数列｛an｝的通项公式为an=3-2n-!•5丁•n!评注：本题解题的关键是把递推关系an+I=2(n+l)5n-an转化为也=2(“+1)5",进而求an=a】+2a2+3a3+・・・+(n-l)出Hurt..…巴.巴.切，即得数列｛%｝的通项公式。an-l
12、an-2a2ai(2004年全国25题)已知数列｛a.｝满足a】=1,+(n-l
