圆锥曲线硬解定理(1) ( 1)

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1、圆锥曲线硬解定理介绍：圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理或JZQ-EH定理，其是一套求解椭圆双曲线与直线相交时,,及相交弦长的简便算法。定理简介：在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时人们发现了可消项的存在。但其一般化的推导结果不具有普适性,且一直无法用一个简洁的形式表示.。由CGY(2010)以椭圆曲线推导,重新排列分组形式,并引入ε,从而得出了较为简洁的表示形式。后再由CGY成功引入弦长计算公式,并将适用范围扩大到对y值求解与对x的求解,从而奠定了CGY-EH定理强大的通用性与普适性。定理内容:若曲线与直线相交于E、F两点,则:其中 ，为一与同号的值，定理说明:应用

2、该定理于椭圆时,应将 代入。应用于双曲线 时,应将 代入,同时不应为零,即不为零。求解,既是求解，只须将A与B的值互换且m与n的值互换，可知与的值不会因此而改变。定理补充:联立曲线方程与是现行高考中比联立”“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，，都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。若曲线 与直线相交于E、F两点,则:这里的既可以是常数，也可以是关于的代数式。由这个公式我们可以推出：若曲线为椭圆 ,则若曲线为双曲线,则由于在高考中CGY-EH定理不

3、可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分：联立两方程得……（二次式子）所以=……①，=……②；所以……（此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简）化简得(偷偷地直接套公式，不必真化简)下面就可求弦长 了。定理简证:设曲线①与直线②相交于E、F两点，联立①②式可得最终的二次方程：应用韦达定理，可得:对于等价的一元二次方程的数值不唯一,且的意义仅在于其与零的关系,故由恒成立,则可取与同号的作为的值由可得令则得到CGY-EH定理: