正余弦定理的 应用

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1、正余弦定理的应用题型一　求高度问题例1　如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.跟踪训练1　(1)甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．(2)如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB＝20m，在A点处测得P点仰角∠OAP＝30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP＝4

2、5°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)题型二　三角形的面积公式及其应用例2　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cosA＝，b＝.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．跟踪训练2　如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．题型三　三角形面积的最值问题例3　已知△ABC的外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)·sinB，求△A

3、BC面积的最大值．跟踪训练3　若△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且S＝c2－(a－b)2，a＋b＝2，求面积S的最大值．题型四　三角形中的综合问题例4　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大小；(2)求sinA＋sinB的最大值．跟踪训练4　已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m

4、⊥p，边长c＝2，∠C＝，求△ABC的面积．题型一　求高度问题例1　如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解　由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由＝，得AD＝＝＝800(＋1)(m)．即山的高度为800(＋1)m.跟踪训练1　(1)甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼

5、顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．答案　a，a解析　甲楼的高为atan60°＝a，乙楼的高为a－atan30°＝a－a＝a.(2)如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB＝20m，在A点处测得P点仰角∠OAP＝30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)解　在Rt△AOP中，∠OAP＝30°，OP＝h.∴OA＝OP·＝h.在Rt△BOP中，∠OBP＝45°

6、，∴OB＝OP·＝h.在△AOB中，AB＝20，∠AOB＝60°，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos60°，即202＝(h)2＋h2－2·h·h·，解得h2＝≈176.4，∴h≈13m.题型二　三角形的面积公式及其应用例2　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cosA＝，b＝.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．解　(1)因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝，cosA＝，所以C＝－A，sinA＝.于是sinC＝sin＝cosA＋sinA＝.(2)由(1)

7、知sinA＝，sinC＝，又因为B＝，b＝，所以在△ABC中，由正弦定理得a＝＝.于是△ABC的面积S＝absinC＝×××＝.跟踪训练2　如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．解　连接BD，则四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＋S△CDB＝AB·ADsinA＋BC·CDsinC.∵A＋C＝180°，∴sinA＝sinC，∴S＝(AB·AD＋BC·CD)sinA＝(2×4＋6×4)sinA＝16sinA.在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB

8、2＋AD2－2AB·ADcosA＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA.在△CDB中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosC＝52－48cosC.∴20－16cosA＝52－48cosC.∵cosC＝－cosA，∴64cosA＝－32，∴cosA＝－，又A∈(0°，180°)，∴A＝120°，∴S＝16sin120°＝8.题型三　三角形面积的最值问题例3