冲刺高考数学二轮复习核心考点特色突破专题11基本不等式及其应用含解析

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1、专题11基本不等式及其应用【自主热身，归纳总结】231、已知a>0,b>0，且＋＝ab，则ab的最小值是．ab【答案】：26【解析】利用基本不等式，化和的形式为积的形式．232323因为ab＝＋≥2·，所以ab≥26，当且仅当＝＝6时，取等abab号．abx8y2、已知正数x,y满足x2y2，则的最小值为．xy【答案】9【解析】：=9．3、已知正实数x，y满足，则xy的最小值为．【答案】：2634、已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小

2、值为．【答案】2523【解析】：由于直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，所以a(b－3)＝2b，即＋＝1(a，ab23bababab均为正数)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)＋＝13＋6＋≥13＋6×2×＝25(当且仅当＝即a＝babababab＝5时取等号)．5、已知正实数x,y满足，则xy的最小值为．【答案】8【解析】：因为x,y0，所以y10．又因为，所以x10，所以，当且仅当，即x5,y3时等号成立．易错警示在应用基本不等式时，要注意它使用的三个条件“一正二定三相

3、等”．另外，在应用基本不等式时，要注意整体思想的应用．2226、设实数x，y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的最小值是．5－1【答案】2思路分析1注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y较易，所以消去y.221－x221－x2225x11515－12解法1由x＋2xy－1＝0得y＝，从而x＋y＝x＋＝＋2－≥2－＝2，当且2x2x44x216241仅当x＝±时等号成立．5222222思路分析2由所求的结论x＋y想

4、到将条件应用基本不等式，构造出x＋y，然后将x＋y求解出来．222222解法2由x＋2xy－1＝0得1－x＝2xy≤mx＋ny，其中mn＝1(m，n>0)，所以(m＋1)x＋ny≥1，令m＋15－15＋12215－1＝n，与mn＝1联立解得m＝，n＝，从而x＋y≥＝.225＋122y47、若正实数x，y满足xy1，则的最小值是▲．xy【答案】、8【解析】：因为正实数x，y满足xy1，y4x所以，当且仅当，即y2x，又xyy4xy1，即，等号成立，即取得最小值8.xy1318、若实数x，y满足xy＋3

5、x＝30＜x＜，则＋的最小值为．2xy－3【答案】：813解法1因为实数x，y满足xy＋3x＝30＜x＜，所以y＝－3(y＞3)，2x311111所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2y－＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4xy－3y－3y－3y－3y－3331时取等号，此时x＝，所以＋的最小值为8.7xy－3133解法2因为实数x，y满足xy＋3x＝30＜x＜，所以y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0，2xx31313131313所以x＋y－3＝x＋3＝－6＋＋6≥2－6·＋6＝8，当且仅当－6＝，即

6、x＝时取x3x3x37－6－6－6－6xxxx31等号，此时y＝4，所以＋的最小值为8.xy－3解后反思从消元的角度看，可以利用等式xy＋3x＝3消“实数x”或消“实数y”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟．199、已知正数a，b满足＋＝ab－5，则ab的最小值为．ab【答案】.36199【解析】：因为正数a，b满足＋＝ab－5，所以ab－5≥2，当且仅当9a＝b时等号成立，即ababab－5ab－6≥0，解得ab≥6或ab≤－1(舍去)，因此ab≥36，从而(

7、ab)min＝36.sinα10、已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝，则tanα的最大值是．sinβ2【答案】4114x9y11、已知正数x，y满足＋＝1，则＋的最小值为．xyx－1y－1【答案】25114x9y4x94x44【解析】：因为＝1－，所以＋＝＋＝＋9x＝4＋＋9(x－1)＋9＝13＋＋yxx－1y－1x－11x－1x－1x－11－y41149(x－1)＝13＋＋9(x－1)．又因为＝1－>0，所以x>1，同理y>1，所以13＋＋9(x－1)≥13＋x－1yxx－154x9y24×

8、9＝25，当且仅当x＝时取等号，所以＋的最小值为25.3x－1y－11

9、a

10、12、已知a＋b＝2，b＞0，当＋取最小值时，实数a的值是．2

11、a

12、b【答案】：－21

13、a

14、a＋b

15、a

16、ab

17、a

18、1b

19、a

20、3b解法1＋＝＋＝＋＋≥－＋2·＝，当且仅当a＜0，且＝2

21、a

22、b4

23、a

24、b4

25、a

26、4

27、a

28、b44

29、a

30、b44

31、a

32、

33、a

34、，即a＝－2，b＝4时取等b1

35、a

36、1

37、a

38、号．解法2因为a＋b＝2，b＞0，＋＝＋(a＜2)．2

39、a

40、b2

41、a

42、2－a所以1

43、a

44、设f(a)＝＋(a