高考数学二轮复习限时检测提速练11大题考法__立体几何的综合问题

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1、限时检测提速练(十一)大题考法——立体几何的综合问题A组1．(2018·潍坊二模)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC，AA1＝DA1，∠ABC＝120°．(1)证明：AD⊥BA1；(2)若AD＝DA1＝4，BA1＝26，求多面体BCD-A1B1C1D1的体积．(1)证明：取AD中点O，连接OB，OA1．∵AA1＝DA1，∴AD⊥OA1．∵在?ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°．又∵AB＝BC，则AB＝AD，∴△ABD是正三角形，∴AD⊥OB，∵OA1?平面OBA1，OB?平面OBA1，OA

2、1∩OB＝O，∴AD⊥平面OBA1，∴AD⊥A1B．(2)解：由题设知△A1AD与△BAD都是边长为4的正三角形．∴A1O＝OB＝23．222∵A1B＝26，∴A1O＋OB＝A1B，∴A1O⊥OB，∵A1O⊥AD，∴A1O⊥平面ABCD，∴A1O是平行六面体ABCD-A1B1C1D1的高，又SABCD＝AD·OB＝4×23＝83，∴V＝VABC-DA1B1C1D1＝SABCD·A1O＝83×23＝48，V1＝VA1-ABD＝11S△ABD·A1O＝×331×23×4×23＝8，2∴VBCD-A1B1C1D1＝V－V1＝40，

3、即几何体BCD-A1B1C1D1的体积为40．2．(2018·宣城二调)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AA1＝3，D，D1分别是BC，B1C1上的中点，P是线段AD上的一点(不包括端点)．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1-QC1D的体积．解：(1)在平面ABC内作直线l∥BC，则直线l与平面A1BC平行，即图中的直线PQ.AB＝AC＝2,D是BC上的中

4、点，则AD⊥BC，即l⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABC，则l⊥AA1，AD∩AA1＝A，故直线l⊥平面ADD1A1．1(2)VA1-QC1D＝VD-A1QC1＝S△A1QC1·h，3因为平面A1ACC1⊥平面ABC，过D作线段DE⊥AC于E，则DE⊥平面AA1C1C，即DE为D-A1QC1的高，3由AB＝AC＝2，∠CAB＝120°，得DE＝2，VDA11133则-1QC1＝3S△A1QC1·h＝3×2×2×3×2＝2．3．(2018·石嘴山二模)如图所示，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，D，E分别为线段

5、AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2EB＝2．(1)求证：DE⊥平面PCD；(2)求点B到平面PDE的距离．(1)证明：由PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，故PC⊥DE．由CE＝2，CD＝DE＝2，得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE．又PC∩CD＝C，故DE⊥平面PCD．(1)解：由(1)知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝π，4过D作DF垂直CE于F，易知DF＝CF＝EF＝1，22又DE⊥平面PCD，所以DE⊥PD，PD＝PC＋CD＝11，设点B到平面PDE的距离为h，即为三棱锥B-PDE的高，由VB-PD

6、E＝VP-BDE得13S△PDE·h＝1S△BDE·PC，311即··PD·DE·h＝11··BE·DF·PC，3232即11×2×h＝1×1×3，所以h＝32222，所以点B到平面PDE的距离为32222．4．(2018·蚌埠二模)如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，AD＝3BC＝6，PB＝62，点M在线段AD上，且MD＝4，AD⊥AB，PA⊥平面ABCD．(1)求证：平面PCM⊥平面PAD；(2)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求四棱锥P-ABCD的表面积．(1)证明：由AD＝6，DM＝4可得A

7、M＝2，易得四边形ABCM是矩形，∴CM⊥AD，又PA⊥平面ABCD，CM?平面ABCD，∴PA⊥CM，又PM∩AD＝M，PM，AD?平面PAD，∴CM⊥平面PAD，又CM?平面PCM，∴平面PCM⊥平面PAD．1143(2)解：四棱锥P-ABCD的体积为V＝3·2·(AD＋BC)·AB·PA＝AB·PA，要使四棱锥P-ABCD的体积取最大值，只需AB·PA取得最大值．222由条件可得PA＋AB＝PB＝72，∴72≥2PA·AB，即PA·AB≤36，当且仅当PA＝AB＝6时，PA·AB取得最大值36．PC＝219，PD＝62，C

8、D＝213，cos∠CPD＝1PC2＋PD2－CD22·PC·PD＝22，则sin∠CPD＝191119，∴S△PCD＝2PC·PD·sin∠CPD＝622，则四棱锥P-ABCD的表面积为12×(6＋2)×6＋12×6×6×2＋12×2×62＋622