2019版高考数学二轮复习 限时检测提速练11 大题考法——立体几何的综合问题

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1、限时检测提速练(十一)　大题考法——立体几何的综合问题A组1．(2018·潍坊二模)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC，AA1＝DA1，∠ABC＝120°．(1)证明：AD⊥BA1；(2)若AD＝DA1＝4，BA1＝2，求多面体BCDA1B1C1D1的体积．(1)证明：取AD中点O，连接OB，OA1．∵AA1＝DA1，∴AD⊥OA1．∵在▱ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°．又∵AB＝BC，则AB＝AD，∴△ABD是正三角形，∴AD⊥OB，∵OA1⊂平面OBA1，OB⊂平面OBA1，OA1∩OB＝O，∴AD⊥平面OBA1，∴AD⊥A1B．

2、(2)解：由题设知△A1AD与△BAD都是边长为4的正三角形．∴A1O＝OB＝2．∵A1B＝2，∴A1O2＋OB2＝A1B2，∴A1O⊥OB，∵A1O⊥AD，∴A1O⊥平面ABCD，∴A1O是平行六面体ABCDA1B1C1D1的高，又SABCD＝AD·OB＝4×2＝8，∴V＝VABCDA1B1C1D1＝SABCD·A1O＝8×2＝48，V1＝VA1ABD＝S△ABD·A1O＝××2×4×2＝8，∴VBCDA1B1C1D1＝V－V1＝40，即几何体BCDA1B1C1D1的体积为40．2．(2018·宣城二调)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC

3、＝2，∠BAC＝120°，AA1＝3，D，D1分别是BC，B1C1上的中点，P是线段AD上的一点(不包括端点)．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积．解：(1)在平面ABC内作直线l∥BC，则直线l与平面A1BC平行，即图中的直线PQ.AB＝AC＝2,D是BC上的中点，则AD⊥BC，即l⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABC，则l⊥AA1，AD∩AA1＝A，故直线l⊥平面ADD1A1．(2)VA1QC1D＝VDA1QC1＝S△A1QC1·h，因为平面A1ACC1

4、⊥平面ABC，过D作线段DE⊥AC于E，则DE⊥平面AA1C1C，即DE为DA1QC1的高，由AB＝AC＝2，∠CAB＝120°，得DE＝，则VDA1QC1＝S△A1QC1·h＝××2×3×＝．3．(2018·石嘴山二模)如图所示，在三棱锥PABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2．(1)求证：DE⊥平面PCD；(2)求点B到平面PDE的距离．(1)证明：由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，故PC⊥DE．由CE＝2，CD＝DE＝，得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE．又PC∩CD＝C，故DE⊥平面PCD．(

5、2)解：由(1)知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝，过D作DF垂直CE于F，易知DF＝CF＝EF＝1，又DE⊥平面PCD，所以DE⊥PD，PD＝＝，设点B到平面PDE的距离为h，即为三棱锥BPDE的高，由VBPDE＝VPBDE得S△PDE·h＝S△BDE·PC，即··PD·DE·h＝··BE·DF·PC，即××h＝1×1×3，所以h＝，所以点B到平面PDE的距离为．4．(2018·蚌埠二模)如图，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，AD＝3BC＝6，PB＝6，点M在线段AD上，且MD＝4，AD⊥AB，PA⊥平面ABCD．(1)求证：平面PCM⊥平面PAD；(2

6、)当四棱锥PABCD的体积最大时，求四棱锥PABCD的表面积．(1)证明：由AD＝6，DM＝4可得AM＝2，易得四边形ABCM是矩形，∴CM⊥AD，又PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，∴PA⊥CM，又PM∩AD＝M，PM，AD⊂平面PAD，∴CM⊥平面PAD，又CM⊂平面PCM，∴平面PCM⊥平面PAD．(2)解：四棱锥PABCD的体积为V＝··(AD＋BC)·AB·PA＝AB·PA，要使四棱锥PABCD的体积取最大值，只需AB·PA取得最大值．由条件可得PA2＋AB2＝PB2＝72，∴72≥2PA·AB，即PA·AB≤36，当且仅当PA＝AB＝6时，PA·AB取得最大

7、值36．PC＝2，PD＝6，CD＝2，cos∠CPD＝＝，则sin∠CPD＝，∴S△PCD＝PC·PD·sin∠CPD＝6，则四棱锥PABCD的表面积为×(6＋2)×6＋×2＋×2×6＋6＝6(10＋＋)．B组1．(2018·日照二模)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝，其对角线AC与BD相交于点O，四边形OAEF为矩形，平面OAEF⊥平面ABCD，AB＝AE＝2．(1)求证：平面DEF⊥平面BDF；(2)若点H在线段BF上，且BF＝3HF，求三棱锥HDEF的体积．(1)证明：∵ABCD为菱形，∴AO⊥