高考数学新设计大一轮复习第四章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理习题(理科)新人教A版

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1、第6节正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理2222a＝b＋c－2bccosA；babc22公式＝＝＝2R＝c＋a－2cacosB；sinAsinBsinC222c＝a＋b－2abcosC(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；222b＋c－aabccosA＝；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；2bc2R2R2R常见222c＋a－bcosB＝；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；2

2、ac变形222a＋b－c(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝cosC＝2abcsinA111abc12.S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，2224R2并可由此计算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAba≤b解的个数一解两解一解一解无解[微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；A＋BC(3)sinA＋BC＝cos；(4)cos＝sin

3、.22222.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B?a>b?sinA>sinB?cosAsinB，则A>B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()222222(4)当b＋c－a>0时，△ABC为锐角三角形；当b＋c－a＝0时，△ABC为直角三角形；222当b＋c－a<0

4、时，△ABC为钝角三角形.()解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.222(4)当b＋c－a>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(必修5P10A4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()ππ2π5πA.B.C.D.6336222b＋c－a解析在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝2bc9＋25－491＝＝－，3022π2π由A∈(0，π)，得A＝，即∠BAC＝.33答案C3.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acosA

5、＝bcosB，则这个三角形的形状为.解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，π即A＝B或A＋B＝，2所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形ππ4.(2018·沈阳质检)已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于()64A.2B.1C.3D.2ab1b解析由正弦定理＝，得π＝π，sinAsinBsinsin641b∴＝，∴b＝2.1222答案DC55.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝()25A.42B.30C.29D.252C53解析由题意得cos

6、C＝2cos2－1＝2×－1＝－.255322222在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC＋BC－2AC×BC×cosC＝5＋1－2×5×1×－＝32，5所以AB＝42.答案A6.(2019·荆州一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝22，cosA3＝，sinB＝2sinC，则△ABC的面积是.43解析由sinB＝2sinC，cosA＝，A为△ABC一内角427可得b＝2c，sinA＝1－cosA＝，4222222∴由a＝b＋c－2bccosA，可得8＝4c＋c－3c，解得c＝2(舍负)，则b＝4.117∴S△ABC＝bcsinA＝×2×4×＝7.224答案7考点

7、一利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝.(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则A＝()ππ5π2πA.B.C.D.6363222a＋b－c(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的