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《2020版高考数学复习第四章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理习题理含解析新人教a版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第6节 正弦定理和余弦定理最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理公式===2Ra2=b2+c2-2bccos__A;b2=c2+a2-2cacos__B;c2=a2+b2-2abcos__C常见变形(1)a=2RsinA,b=2Rsin__B,c=2Rsin__C;(2)sinA=,sinB=,sinC=;(3)a∶b∶c=sin__A∶sin__B∶sin__C;(4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=c
2、sinAcosA=;cosB=;cosC=2.S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB==(a+b+c)·r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.3.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinAba≤b解的个数一解两解一解一解无解[微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A+B)=sinC;(2)cos(A+B)=-cosC;(3)sin=cos;(4)cos=sin.2.三角形中的射影定理在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+a
3、cosB.3.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosAsinB,则A>B.( )(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,△ABC为钝角三角形.( )解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知
4、三角时,不可求三边.(4)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC不一定为锐角三角形.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P10A4改编)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=( )A.B.C.D.解析 在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理得cos∠BAC===-,由A∈(0,π),得A=,即∠BAC=.答案 C3.(必修5P10B2改编)在△ABC中,acosA=bcosB,则这个三角形的形状为________.解析 由正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A
5、=π-2B,即A=B或A+B=,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案 等腰三角形或直角三角形4.(2018·沈阳质检)已知△ABC中,A=,B=,a=1,则b等于( )A.2B.1C.D.解析 由正弦定理=,得=,∴=,∴b=.答案 D5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( )A.4B.C.D.2解析 由题意得cosC=2cos2-1=2×-1=-.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC=52+12-2×5×1×=32,所以AB=4.答案 A6.(2019·荆州一模)设△ABC的内角A,B,C的对
6、边分别为a,b,c,已知a=2,cosA=,sinB=2sinC,则△ABC的面积是________.解析 由sinB=2sinC,cosA=,A为△ABC一内角可得b=2c,sinA==,∴由a2=b2+c2-2bccosA,可得8=4c2+c2-3c2,解得c=2(舍负),则b=4.∴S△ABC=bcsinA=×2×4×=.答案 考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=________.(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(
7、a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则A=( )A.B.C.D.(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,则C=( )A.B.C.D.解析 (1)由正弦定理,得sinB===,结合b
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