浅谈数形结合及其应用

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1、摘要：数学结合思想是高屮数学的重要思想方法，它指出了解决某些数学问题时应从“数”与“形”两者联系来考虑问题，正如华罗庚先牛所说的：“数缺形吋少直观，形缺数吋难入微”，数形结介的实质是将抽彖的数学语言与直观的图形结合起来，使抽彖思维和形象思维结合起来，这对培养学生的思维能力起到积极的作用。灵活掌握这种方法，可以把几何和代数有机的结合起來，提高解题的能力。关键词：数形结合；数学应川；数学教学Abstract:TheMathematicsthoughtisthecombinationofhighschoolmathematicsthoughtmethod,iti

2、spointedoutthatsolvingsomemathematicsproblemsshouldbetheHnumber0andMtheshape11bothconnectiontoconsidertheissue,HuaLuogengsaid:”thenumberofnotchlessintuitive,shapedthemissingnumbertodetaithenumbershapeunionistheessenceoftheabstractmathematicallanguageandvisualgraphicscombined,sotha

3、ttheabstractthinkingandimagethinkingtogether,whichistocultivatethethinkingabilityofthestudentsplayanactiverole.Thismethodcanbeflexibly,geometryandalgebraorganically,andimprovingproblemsolvingability.Keywords:Combinationofnumberandshape；ApplicationofMathematics；MathematicsTeaching1

4、数形集合在数学解题中的具体应用1.1利用数形集合解决集合问题一般用I员I来表示集合，两【员I相交则表示两集合有公共元素，两闘相离则表示两个集合没有公共元索.利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题.女m例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28,25,15,同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数(如图)，则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数.用n表示集合的元索，则有：即：2842541

5、5-8-6-74“1阳<7)=48;«(/nfinc3=i,即同吋参加数理化小组的有1人.1.2利用数形结合解决不等式问题例2、已知a.h.c.x.y.zjn为正数,^a+x=b+y=c+z=m,试证：ay++ex

6、J：S阴影J,使得：EH二x,F

7、1二y,GJ二z，HF二d,IG二b,EJ1.3利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题例3、已知集合^=Ul-I

8、aod王一1.3a^3时集合A应该覆盖集合B,应有bA°成立.即6A—>-1a3a3当aMO吋，B",显然SCA成立.故BcA时的取值范围为：鼻M1・1.4利用数形集合解最值问题例1求卜-5

9、+卜-6

10、的最小值。(xgR)分

11、析：此题可通过去掉绝对值分类讨论。即分为(—,5),[5,61,(6,+oo)三类，然后比较其结果，但比较繁琐，利用数形结合思想较为简单，一目了然。解将x看作实数轴上的任意一点，那么此问题转化为求实数轴的任意一点x到5的距离与到6的距离的和的最小值。如图5：显然可看出其最小值为1,即兀应是5,6之间的点到其的距离。例2若实数兀,y满足卜-2

12、+卜-2

13、=1,求x2+y2的最值.分析如果希望用代数的方法,直接从

14、x-2

15、+

16、y-2hl屮用y表示x,代入x2+y2中消去，得出关于x的一个式了，再求最值，则计算较繁且难以求出最值.若从题目所表示的图形入手，利用数

17、形结合的思想,则迎刃而解.解把满足卜-2

18、+

19、y-2

20、=l的实数兀