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1、浅谈数形结合数学是研究空间形式和数量关系的科学.简言之是研究“形”和“数”的科学.我们学习数学的过程某种角度就是锤炼自己思维的过程.数学作为基础学科，委实不同于其它学科.做一道题，冇时要碰壁好儿次，此路不通盂另想他法，冇时一种方法繁琐，就要求我们多思多虑，悟出一些更深刻的东西.久而久之，你就能总结出规律来.比如说我们研究的“数形结合思想”这个课题吧，遇到“数”时想到“形”这个工具,实现数形结合，便赋予题目以形象化，拓宽思维空间，有助于以后对数学的研究.一.数缺形时少直观例1已知f(x)=71+x2,若a,b为不等实数,则
2、f(a)-f(b)
3、-b/
4、a-b
5、的关系
6、为分析：这是一道常见题，可以用代数方法解决，如分子有理化，平方法等.以下介绍数形结合法。观察发现f(x)=Vl+x2类似勾股定理的表达式，其中斜边长为f(x),直角边长为1、x.如何构造出lf(a)-f(b)l与la・bl呢？我们想到If(a)-f(b)
7、<
8、a-b
9、.评：同学们会惊叹此法的精妙，妙法如何获得？勤于思考就是法宝.例2在三角形ABC中，设三边长为a,b,c,而积为S.求证：a2+b2+c2>4羽S.分析：本题是一道不等式证明题，若用代数方法做需借助丁三角函数、余弦定理、二元均值不等式等知识.但若将它放进三角形中，不但形象直观，而且只需用余弦定理就可解
10、决.解：1°当a=b=c时,不难验证,略.2。当a,b,c不全相等时，不妨令最长边为“最小边为c,以AB为边作正三角形ABD,如图，C由余弦定理得:CD，二b'+c'-2bccos(A-60°)=b2+c'-bccosA-V3bcsinA=bgf一力一2徭S2x1+xy+—y2-25=—[(a_+b~+c2)—4-/3*5]>02故a2+b2+c2>4羽S.例3已知：x,y,z为正实数，.FL满足"求xy+2yz+3xz的值.新+宀9z2+xy+x2=16分析：该题用代数方法比较棘手，注意到条件中各个方程均为二次方程，形式上似三角形的余弦定理及勾股定理，且所求代
11、数式与三角形面积表达式有关，故构建三角形模型.r烷林詡如2兀吉cosl50。占，解:2+z2=32,构讼如妍所谒横s血0Q:翔影,其中
12、OA
13、=i
14、0B
15、=>loc
16、由Saabc二S/saoc+Saaob+S/sboc得-1x3x4=—xzsinl2(P+—x^sinlStf+丄卓z,222732,/3化简，得xy+2yz+3xz二24V3.CB二z.若不等式05/+”兀+5Q恰好冇一个实数解,则p的取值范围为解：令y=x2+px+5y二0y=i作出图象，如图所示.当抛物线顶点在直线y=l下方吋不等式有无数多个解;当顶点在直线y=l上方时，无解;当顶点在直线y二1
17、上时，不等式恰有一个解.由此得出p二4或-4.二.形缺数时难入微例5若三角形ABC能剖分为两个与口身相似的三角形，那么这个三角形的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定分析：剖分线必定通过三角形的某一顶点边形.不妨设剖分线为AD,如图所示，则冇ZADB>ZDAC,ZADB>ZDCA.要使△ABD^ACBA,必须ZADB=ZCAB.同理，ZADC=ZCAB.否则，将把三角形分成一个三角形与一个四所以ZADB=ZADC=ZCAB二90°.故选B.x=199+199cos&y=199sin0而199为质数，所以当n仅当•分析：圆参数方程为cos
18、&=0sini或(OwR)有幣数解osin&=0COS&=±1199cos^rzr八均为整数.199sin〃时,x,y均为整数，即圆周上整例6在直角坐标平面上，以（199,0）为圆心，199为半径的圆周上整数点个数为数点个数为4个.三.图形优化“数”与“形”的结合，冇时需要通过坐标系这一桥梁，优化两者间的关系.B例7如图所示，已知梯形ABCD中，
19、AB
20、=21CD
21、,点E分有向线段AC所成的比Q为一，双Illi线过C,D,E三点，且以A,11B为焦点.求双曲线的离心率.分析：根据题屮信息，解题需要设计出坐标系，赋予相关点的坐标，才易解决问题•解：以AB的垂直平分线
22、为y轴，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则CD丄y轴,由双
23、11
24、线的对称性知C、D关于y轴对称.h记A（-c,0）,B（c,0）,C（一,c）27Q由定比分点坐标公式得E点坐标为（-一c—h）.19192加凤双曲线上得=I4/庆,49c264h2tz=]设双曲线方程为二a2b=1,爲CfEC—1解得斗垢Pd2所附心薛°二3.a~我们在数学学习屮，不仅应视数形结合为重耍解题方法，更应该将它作为重要学科思想和思、维方式.应冇意识地培养解题思维：见数想形，因形思数，形数渗透，数形结合，达到敏捷思维，思路新颖.数形结合——思维完善的阶梯!
