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1、浅谈数形结合的应用张美花摘要：数与形是数学研究的两个重要方面。一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。本文利用数与形的结合解决数学中的一些问题，能够直观而形象地解决一些较为复杂的问题。关键词：数形结合抽象直观应用在研究过程中发现，数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。数形结合在数学解题中有重要的指导意义，这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，即数量问题和图象性质是可以相互转化
2、的，这不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。一．代数问题用几何方法解决数与形在一定条件下可以互相转化，如某些代数问题往往有几何背景，而借助其背景图形的性质，可以使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。例1求方程2Sinx=x解的个数解函数y=2sinx,y=x的图象很容易能画出(如下图)可以看出当x>2和x<－2时这两个函数不可能有交点，而当－２x２时有三个交点。显然方程Sinx=2x解的个
3、数即是这两个函数y=sinx,y=2x的图象交点的个数，据数形结合知它们交点的个数是3,故原方程有3个不同的解.此题如果用其它一般的求方程的方法来求是不适宜的，例如通过移项，两边同时乘，除同一数，平方，开方，积分，微分等常用的解方程的方法将无济于事。根据函数的性质进行分段的讨论又将很复杂，而且很容易就出错，甚至得不出正确的结果。但是用了数形结合的方法却清晰，快速，准切地求出了答案。5例2求在圆上的点到直线y=x-的最大值与最小值.分析:本题完全可以用代数的方法,即先求出圆上任意一点到直线的距离关系式
4、,再根据函数的关系式去求的最大值与最小值.在做的过程中会发现计算非常的复杂,而且在去掉绝对值时需要进行讨论正数还是负数,可以说过程是复杂易错.但如果建立直角坐标系,画出这两个函数的图象,可以知道尽管圆上的点到直线的距离可能不同,但圆心到直线的距离是固定不变的,再根据三角形不等式的性质,判断出(如下图所示)所求最大值为点到直线的距离,最小值为点到直线的距离.解由点到直线距离公式知:圆心0到直线的距离d==据数形结合知直线上的和到直线y=x-的距离最大与最小.=d+r=+1=d–r=-1因此数形结合是一
5、种极富数学特点的信息转换，许多数量关系方面的抽象概念和解析式，若赋之以几何意义，往往变得非常直观形象，并使一些关系明朗化、简单化。二．几何问题用代数方法解决在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，转化为几何问题，利用数形的辩证统一和各自的优势尽快地得到解决问题的途径，5因为往往一些图形的性质，又可以赋予数量意义，寻找恰当表达问题的数量关系式，即可使几何问题代数化，以数助形，用代数的方法使问题得到解决。这对提高分析问题和解决问题能力的提高将有极大帮助.例3求由抛物线y=2x
6、与直线y=x-4所围成的平面图形的面积。解：作出它的草图:， y=x-4y=2x并求抛物线与直线的交点，即解方程组 得交点A(2,-2),B(8,4).一般地,我们习惯选择x为积分变量,但从图形中可以看出,若选x为积分变量,则需要所求图形的面积分成两块,即将分为两个积分区间:[0,2]和[2,8],并且求出当y>0和y<0时y=f(x)函数表达式,再根据数量关系用定积分求出在这两个区间的面积之和,这种过程就比较复杂.如果选择y作积分变量，y[-2,4]，任取一个子区间[y,y+dy][-2,4]，则
7、在[y,y+dy]上的面积微元是dA=(x-x)dy=[(y+4)-]dy于是A=[(y+4)-]dy=（＋4y-）=(8+16-)-(1-8+)=18数形结合解题就是在解决与几何问题有关的问题时，将图像信息转换为代数信息，利用数量特征，将其转化为代数问题。三数形结合可使抽象的复杂问题简单化5巧妙应用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,有时可取到事倍功半的效果,数形结合的重点是研究”以形助数”.例4已知
8、Z
9、=1,求ω=2Z+2+i的幅角主值范围解:由已知知点ω的轨迹是=-
10、ω-（2+i）
11、=
12、2即（x-2）2+(y-1)2=4如图所示y轴是其一条切线，设过原点的另一条切线OP,设圆心到点p的距离为d,则: 据数形结合知argω∈[0,]∪[2π-arctan,2π]在数学解题中，方法至关重要，这对于节省时间，提高效率，煅炼能力有重要的作用。运用形数结合解题，产生较好的效果。它可以使我们进一步提高解题兴趣，激活思维，开阔思路，提高综合运用多种方法解题的能力，从而提高分析、判断、猜想、推理、决策的能力，真正提高数学素质、创新精神和创新能力。平时应注重培养这种思
