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1、浅谈指数和对数的比较［摘要］指数和对数的比较是高一数学的重要知识点之一，通过作图比较相应类别幕与幕的人小，对数和对数的大小，得出左异右同的结论。［关键词］指数；幕；对数；大小比较指数函数的概念：一般地，函数指数y二ax(a>0,且aHl)叫做指数函数，其屮x是自变量，函数的定义域是R。y是因变量，函数的值域为(0,+8)•注意：1・指数函数对外形要求严格，前系数要为1,否则不能为指数函数。2•指数函数的定义仅是形式定义。3.当a>l时，底数越大,图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当01时，图像在R上是增函数；当0比较指数的大小的方法主要有：(1)当底数相同时,则利用指数函数的单
2、调性进行比较；(2)当底数屮含有字母时要注意分类讨论；(3)当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；(4)对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较(5)采用平移法，在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在f(x)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。(6)采用数形结合的方法去比较。比较数的人小在高一数学学习中占据着重要地位，尤其在学习了指数函数和对数函数Z后幕与幕的比较，对数与对数的比较后更加突显。因此寻找一种比较方法迫在眉睫，由特殊到一般的思想，寻找这两类数的比较,幕的比较可以分为三大类：一为底数相同，指数不同；二为底数不同
3、，指数相同；三为底数和指数都不相同。通常是指数和底数都限定在到之间的实数，针对•第一类问题，我们可以根据指数函数的单调性比较两个幕值的大小，当底数大于1时，指数越大，值越大。当底数大于0小于1时，指数越大，值越小。对于第二类问题，可以引入中间桥梁“1”或是从图像中观察并得出结果。第三类问题的解决需要选择适当的中间变量来进行比较，如0.80.6与0.60.8,需要寻找0.60.8或是0.80.6来作为中间量来进行比较。本文主要讨论第二类问题，通过对幕的探究，得出了“幕的左异右同”,既不借助桥梁，乂不借助函数图像，直接得出判断结果。左异是当指数取值为轴左边的实数，即，当底数越大时，幕值反而小。
4、当底数越小时，幕值反而越大。左异因此而得名，右同是当指数取值为轴右边的实数，即。当底数越大时，幕值越大。当底数越小时，幕值越小。右同因此而得名。这里的这里的左右分界线是y轴。例如：比较0.5-0.3与0.4-0.3的大小。先画图像如下：由图像可知,0.5-0.30.4-0.3,由于-0.30,qHI）的反函数称为对数函数，并记为y=logax（a>0,a^l）.,因为指数函数y二ax的定义域为（-oo,+oo）,值域为（0,+oo）,所以对数函数y=logax的定义域为（0,+°°）,值域为（-8,+°°）.设yl二logaxy2=logbx其屮a>l,b>l（或01时“底大图低”即若a>
5、b则yl>y2（2）当Ob,则yl>y20比较对数大小的常用方法有：（1）若底数为同一常数，则可山对数函数的单调性直接进行判断.（2）若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.（3）若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较。同样地，对于对数与对数的比较，同样可以分为三类：一为对数的底数相同，真数不同；二为对数的底数不同，真数相同；三为对数的底数和真数都不同。对于第一类问题，当a>l时，对数函数y=logax(x>0)随着x的增大而增大，当x0)随着x的增大而减小。对于第二类问题，可以借助中间桥梁
6、“0”或“1”来进行比较，例如log541o当底数越大时，対数的值反而越小。当底数越小时，对数值反而越大。右异因此而得名。这里的左右分界线是x二1。例如比较logO.50.6与logO.30.6的大小,比较logO.56与logO.36的大小从图像可知,logO.50.6>logO.30.6,logO.56logO.30.6。logO.56与logO.36的真数都是6,因为6>1,所以是右异，底数越大,则对数值反而小•因为0.30,aHl,bHl)试比较ax与bx的大小。解：对ax与bx分别取自然对数可得xlna和xlnbxlna一xlnb=x(xlna一xlnb)二xlnbAVa>b>0
7、,ab>l则］nab>0当XM0时，有xlnbASO,贝ljaxMbx当X<0时，有Inab<0,则ax
