【精品】数值分析6-1.doc

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1、3.高阶Rung-kutta公式从上面讨论的二阶Rung-kutta公式的推导过程中,看到构造二阶Rung-kutta公式的过程可分为如下几步：第一步：在区间［a;,x/+i］±取两点，预报相应的斜率值；第二步：对此两斜率值加权平均作为平均斜率值的近似值；第三步：写出局部截断误差的表达式，对有关函数作Taylor展开，得到关于力的帚级数.为使公式达到二阶精度，胪，/「/前的系数必须为零，从而建立有关参数应满足的方程组；第四步：解此方程组得一族Rung-kutta公式.按上面的步骤，如果要建立更高精度的Rung-炷"加公式，在区间上

2、除兀•和和/夕卜，可再增加一点x.+w=xz.+mh（/

3、=f（xi+仮X+IhkJk3=f（xi+mh.+讪（卩出+//2*2））写出（6.14）的局部截断误差，应用Taylor展开方法，适当选择参数人，A2,A3,//,,卩“I,m,是上面公式具有三阶精度•采用与上面相同的处理方法，可以得到这些参数需满足的条件是：Mi+“2=1A3bnp2=—<&+丸2+人=1及v°dd122/2+^m2/l2/+/i3m=—--称满足这一条件的公式（6.14）为三阶Rung-kutta公式.其屮最常用的是好血公式:X+1=.片+2伙］+4爲+心)o(6.15)心=.f(W)7—hh】、k2k3=f

4、(Xj+h,yz-hk}+2hk2))若须再将精度提高至四阶，可川类似的方法处理，即在区河［石，兀+J上用4个点处的斜率值的加权平均作为Q的近似值，构成一族四阶Rung-kutta公式.由于在实际应用屮被经常使用，故称为经典R-K方法，英形式为加=兀+3伙1+2心+2心+忍）Ok=f（xi,yi）

5、增加的（见下表），就可知再提高公式阶数已没有多大意义.这进一步说明了四阶Rung-kutta公式是兼顾了精度及计算量的较理想的计算公式.Rung-kutta公式计算/（兀,y）的次数与精度的关系每步计算f的次数：23456789精度的阶数：23445667需要指岀的是Rung-kutta方法的推导是在Taylor展开方法的基础上进行的，因而它要求所求的解具有较好的光滑性•假如解的光滑性较羌，那么使川四阶Rung-kutta公式求得的数值解,其精度可能反而没有用改进的欧拉公式求得的高.因此在实际计算时，应当针对问题的具体特点,选择合

6、适的算法.三、单步法的稳定性1.算法的收敛性一般地，单步法的显式形式可以表示成儿+i=（6.17）定义：如果对于任意固定的=x（）4-nh,当力TO时,由单步法（6.17）产生的近似解儿均有lim儿=y（xn）,则称方法是收敛的.力一>0・口T8可以证明：（1）对于一个"阶的显式单步法（6.17）如果满足：单步法的初值是精确的；增量函数（p（xH，儿,h）关于y满足Lipschtiz条件，即存在常数L>0使0（X,”，h）一0（兀,儿，R）

7、54儿一）‘2I，巧'1，）‘2GR则该方法是收敛的且熬体截断误差为

8、y（兀）-儿I=0（

9、h）（2）对于一个°阶的显式单步法（6.17）,若微分方稈的右端函数.f关于y满足Lipschtiz条件，且初值是精确的，则显式纟厂公式，改进D〃纟厂公式，R-K方法都是收敛的.2.方法的数字稳定性首先为了讨论方便，将微分方程）/二/（x,y）的f（^y）在其解域内的某点⑺劝作Taylor展开并局部线性化：fix、y）=f（a,b）+fx（a9b）（x一d）+f（a,b）（y-方）+…■r二fa,方）y+C［兀+C2+…忽略高阶项，令几二fy（a,b）,则y'=f（x,y）=Ay+qx+c.再设：y=u-^-x-^-则微分方程可表

10、示为：/二2".这说明，一般形式的一阶微分方稈总能化AA成如下的模型方程：yf=Ay（6.18）下面我们通过模熨方程来讨论方法的稳定性•这里的稳定性指的是所谓的绝对稳定性，即当在某一步儿有舍入误差时，则它在以后的计算屮不会逐步扩大.对显式的Eule