二次函数根的分布专题

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1、一元二次方程根的分布专题一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用。下而我们将主要结合二次函数图彖的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。一.一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方

2、程gF+Zzx+c=O(qhO)的两个不等实根为“,x2=b~-4ac>0①方程有两个不等正根X,>0,x9>0西+七=-2>0acxxx2=—>0<〜a②方程两根一正一负：0a即时应用：⑴若一元二次方程(m-l)x-4-2(m+l)x-m=0有两个不等正根，求加的取值范围。⑵R在何范围内取值，一元二次方程圧+3也+一3=0有一个正根和一个负根?二.一元二次方程的非零分布——k分布设一元二次方程

3、c/+加+c=0（Q>0）的两不等实根为坷，兀2,£为常数。则一元二次方程根的R分布（即E无2相对于R的位置）如下表所示:根的分布<①yjI”/充耍条件D>0b-——0b-——>k2a/⑷〉0/伙)v0根的分布<<<④⑤&v兀］vk2)>2<±加■0l/a2)

4、,则求m的取值范围.(2)方程x'+2px+l二0有一个根大于1,一个根小于1,求p的取值范围.二、典型例题例1若一元二次方程尬2+(2/：—l)x+£-3=0有一根为零，则另一根是正根还是负根?例2若方程兀2_伙+2)兀+4=0有两负根，求R的取值范围.例3..若关于兀的方程兀2+伙一2)兀+2E-1=0的两实根中，一根在0和I之间，另一根在1和2之间，求实数R的取值范围例4•已知关于兀的方程2兀2_3兀+2加-3=0的两根都在［—1,1］上•求实数加的取值范围.例5.方程mx24-2(m4-l)x+m+

5、3=0仅有一个负根，求m的取值范围拓展提升：已知集合A=k

6、x2+(2-tz)x+l=0},若Ao{xg/?

7、x>0},求°的取值范围一元二次方程根的分布巩固作业1.对于二次函数^=-2x2+8x,下列结论正确的是()A.当x=2时，丿有最大值8B.当x=-2时，y有最大值8C.当x=2时，y有最小值8D.当x=-2时，y有最小值—82.二次函数=-ax一1在区间[0,3]上有最小值一2,则实数a的值为()10A.-2B.4C.D.233.设函数/(x)=2x2+3ax+2a{x,tzgR)的最小值为m(a

8、),当m(a)有最大值吋a的值为()4“3小8,9A.—B.—C.—D.—34984.函数f(x)=ax2+2(tz-3)x+l在区间[-2,+8)上递减，贝!J实数d的取值范围是()A.[-3,0]B・(-oo,-3]C.[-3,0)D.[-2,0]5.设二次函数/(兀)=F-兀+a,若f(一加)v0,贝!

9、/(加+1)的值为()A.正数B.负数C.正、负不定，与m有关D.正、负不定，与。有关6.已知州,花是方程『—欲—2)兀+(疋+3£+5)=()(k为实数)的两实数根，则彳+兀：的最大值为()A.19

10、B.18C.5-D.不存在97.设函数f(x)=a^^bx-^c(a^O),对任意实数i都有/(2+/)=/(2—/)成立，则函数值/(-1),/(1),/(2),/(5)屮，最小的一个不可能是()A./(-I)B..Al)C.X2)D.X5)8.一元二次方程/+(q2_i)x+(g_2)=0的一-根比1大，另一根比一1小，则实数a的取值范围是9.函数/(X)=ax1+ax-1,若f(x)<0在人上恒成立，则a的取值范围是10.函数/(兀)=农-2ac+2+方(。工0)在[2,3]上有最大值5和最小值2,求

11、a,b的值。11・⑴方程2ar+4=0的两根均大于1,求实数d的范围.⑵方程2ax+4=0的两根一者大于1,一者小于1求实数a的范围.⑶方程2俶+4=0的两根一者在(0,1)内，一者在(6,8)内，求实数。的范围.探究创新:已知A=lxx2+2x+2-p=o

12、,且A{兀丘/?卜>0}=0,求。的取值范围