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1、数学难题训练1.椭圆的屮心是原点0,它的短轴长为，相应于焦点2V2F（c,0）（c〉0）的准线/与X轴相交于点A,
2、OF
3、=2
4、F^
5、,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若丽•00=0,求直线P0的方程：（3）设AP=AAQ（2>1）,过点P且平行于准线/的直线与椭圆相交于另一点M，证明FM=-AFQ.（14分）2已知，二次函数/（兀）=ax2+bx+c及一次函数g（x）=_bx,其中b、cGR,a>b>c,a+b+c=0.（I）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；（II）设/（兀）、g（x）两图象交于A、B两点,当AB线段
6、在兀轴上射影为4血时，试求人耳1的取值范围.3己知过函数f(x)=x3+ax2+1的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为一3。(1)求a、b的值；(2)求A的取值范围，使不等式f(x)WA—1987对于xE[-l,4]恒成立;(3)令g(x)=-/(x)-3x24-rx4-lo是否存在一个实数t,使得当xe(0,1］时，g(x)有最大值1?4已知两点M(—2,0),N(2,0),动点P在y轴上的射影为H,I~PH丨是2和皿•品的等比中项。(1)求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；(2)若以点M.N为焦点的双曲线C过直线x+y=l上的点Q,求实轴最长的双曲线C的方程。
7、5.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，H.两条渐近线与以点A(0,V2)为圆心，1为半径的圜相切，又知C的一个焦点与A关于直线y二兀对称.(I)求双曲线C的方程；(II)设直线y=mx+^j双曲线C的左支交丁A,B两点，另一直线/经过M(・2,0)及AB的中点，求直线/在y轴上的截距b的取值范围；(III)若Q是双曲线C上的任一点，片伦为双曲线C的左，右两个焦点，从厲引ZFQF?的平分线的垂线，垂足为N,试求点N的轨迹方程.6./(兀)对任意xeR都有/(x)+/(l-x)=-・2(I)求和/(-)+/(口)(n电N)的值.2nn(II)数列{◎}满足:a
8、M=/(0)+/(-)+/(-)4-……+/(—)+/(l)，＞'J{an}nnn是等差数列吗？请给予证明；试比较7；与S“的大小.97.知函数f(x)=Iog^x2—2mx+2m2+需匸的定义域为人(1)求实数加的取值集合M；(2)求证：对rn^M所确定的所有函数/U)中，其函数值最小的一个是2,并求使函数值等于2的加的值和x的值.8.(12分)已知点H(-3,0),点P在y轴上，点Q在兀轴的正半轴上，点M在直线PQ...3「•上，且满足HP・PM=0,PM=~-MQf2(1)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；(2)过点T(-1,0)作直线/与轨迹C交于A、B两点,若
9、在a•轴上存在一点E(xo,O),使得为等边三角形，求也的值.9⑴分)设阿总淀义皿如加)］如緒，其中“g(1)求数列｛為｝的通项公式；⑵若门尸Q
10、+2d2+3d3+・・・+2M2“,Q尸"厂+"淇屮nWN；试比较97V与Q”的4矿+4n+l大小.—>—>—>._—>—>._—>10.已知a=(x,0),Z?=(1,y),(ab)丄(。一丁3〃).(I)求点P(x,y)的轨迹C的方程；(II)若直线L：y=kx+m(mH0)与曲线C交于A、B两点,D(0,-l),MIADI=IBDI,试求m的取值范围.(1)当时，求/(〃)的衣达式;(2)设①=nf{n)(7?GN+),求证
11、：工@Jl=l(3)设化MS+1)/(«)”“1(neNJ,S”=》Q,试比较工一与6的大小.*=1k=S&12.已知函数/(x)=logax(a>Ofia#1),若数列:2,/(®)，/(冬),…,f(atl2n+4®wN*)成等差数列.(1)求数列｛匕｝的通项色；(2)若0.（1）建立适当
12、坐标系，求椭恻C的方程；'1—■（2）若点E满足EC=-AB,
13、uj是否存在不平行AB的肓线1与椭圆C交于M、N两点口2IME1=1NEI,若存在，求出直线/与夹角的范围，若不存在，说明理由.14、已知抛物线y2=4x的准线与兀轴交于M点，过M作直线与抛物线交于久〃两点,若线段〃〃的乖直平分线与X轴交于DIX。,0）⑴求兀的取值范围。⑵△/!肋能否是正三角形？若能求出尤的值，若不能，说明理由。15.已知口4仇"A(一2,0),13(2,0),.HAD=2⑴求口对角线交点△'的轨迹方程。O⑵过〃作直线交以/、〃为
