悬崖厣疃壬瓒ㄎ侍悬崖跳水水池深度设定问题aspanclass=

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1、一、问题重述近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。是一种非常危险、挑战人类极限的比赛，比赛规定男了跳台高度为23至28米，女了为18至23米。我国福建连城的冠务山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米。请大家做两件事：1.跳台卜•面的水池耍多深才能安全，请大家给以计算；2.分析两个体重不同的人跳水时哪个需耍更深的水。二、问题分析要探讨水深安全的问题，就要考虑各种偶然因索，考虑各种客观因索对运动员的起跳姿势的影响（包括失误）。运动员下落水中后要有足够小的速度与池底接触（如果能接

2、触），但考虑到各种未知因素，身体应不与池底接触。故所求的最小深度应是运动员以各种姿势跳水后所到最深处离水而的距离。运动员的整个运动过程可分为四个阶段：第一阶段：运动员起跳到身体即将接触水面的下落运动；第二阶段：身体与水的碰撞过程，即固体与流体的碰撞问题；第三阶段：身体入水的过程，该过程中身体没有完全入水；第四阶段：身体完全入水后在水（流体）中的运动情况。三、模型假设假设一：在第一阶段，运动员起跳后不是标准的门由落体运动，而是平动和转动的合成运动。可28米和20米的下落高度中由重力做的功远大于起跳时由摩擦力矩产生

3、的转动动能，况且在接触水而时人呈舒展姿势，由角动量守恒可得此时运动员的转动动能很小。转速也小使得摩擦力矩做的功小。故可以将第一阶段的运动简化为平动，而忽略转动。假设二：在第一阶段中起跳吋，初速度很小，其方向也不确定故可以忽略不计。假设三：在空中下落过程中，将人体等效看成圆柱体。假设四：在考虑第二阶段屮与在第三阶段时，人与水的碰撞问题及人进入水的过程中，可将人看成一圆台，两个圆柱的模型。并冃假设圆台的的底而与水而碰撞,这是由于水的粘滞系数小于水的压差阻力系数，在该种情况下碰撞损失的动能越少，而且在后面的运动屮阻力

4、越小（这会使下落深度越大）。假设五：在第四阶段中将人的模型重新简化为假设三中的圆柱体模型。其图形分别如下所示:假设三（图一）假设四（图二）Ff3Hy假设五（图三）关键词：平动，初速度，圆柱体，圆台，重新。U!、符号说明H：跳申高度h：人高度g：重力加速度m：人重（m=15kgm=7Okg叽人受空气阻力V.：人即将接触水而的速度p2:人与水碰撞完后人的速度咛碰撞后水的速度X：人在空中下落高度k:空气阻力系数V：下落速度A：空气密度(常温常压)A：水密度(常温常压)邙空气粘滞系数c2：压差阻力系数"水的粘滞系数CB

5、水的压差系数心差:压差阻力A：下落时沿下落方向人表而最大投影而积血：人体侧面的表面面积人：人的脚底板面积sfl:面积和v()：圆台体积Vht体积和Ar：碰撞时间/2max：模型离水面最大距离p4,v5,v6过程三各阶段速度五、模型的建立与求解第一阶段模型分析：由假设可知该问题简化为竖直下落问题，人在下落过程屮受到冇重力和空气阻力的作用，而空气阻力乂包括粘滞阻力和压差阻力。故有：22(l)Fn=clpk--Ai+c2pkA?(1XVA厂(2加2—=-CPkC20㊁％+mgdx一=VdtX0)=0,—1/=0=0

6、pk=l・293g/m3A}=0.08m2男二0.764m2A,女=0.70〃『c{=Q.865pa.sc2=1.81xl(T〉pa』Hyi=28/nH匕=20m当兀二H时，可求得男女相应的速度。(3)片男二22.3m」s(4)片女=lS.6m/s第二阶段模型分析由假设可知，该碰撞过程看成圆台底面于水面的碰撞过程。曲碰撞过程中能量守恒定律和动量守恒可以列出两个式子：(1)：卯叶=

7、mv2(2加(y,-v2)=psv}M当&T0时即为碰撞问题，可取Ar=lxl0_4y,ps=x3kg/mA.=Q.02m2

8、由上面两个式子得：(3)v2男=21.6加/s⑷“2女=17.9加/$可得碰撞后速度变化不是很大第三阶段模型分析在该模型中，柱体未完全浸入水中。柱体受重力，水的浮力，水的阻力。其中水的阻力为水的粘滞阻力。由假设三可以确定该过程分为三个步骤完成：步骤一：圆台部分+L1rt1H8r—(l)F浮二久g匕⑵匕是圆台的排水量，匕二丄龙(10+0.15$j2(66+$J/106-0.007其中®为圆台下降距离2(3)F/2=csa—X,A=;r(10+0.15$])J(66+S])2+(10+0.15^)2/io4—0.2

9、12人是圆台与水接触的侧面积建立运动学公式dgdt可以解得®与啲关系式，当5,=lm时可求得相应时间“继而可以求得圆台完全入水时的速度步骤二大圆柱入水过程模型同样受浮力，重力，粘滞阻力(1)代孚二久科,其中V二％+岭，岭为岡柱体入水体积，％为鬪台体积⑵Ff2=csps^-A,其中/!=£+«),£为圆柱体入水面枳，观为圆台面积设圆柱部分下降距离为比，建立微分方程：(3加等•=〃增一耳2