高中数学第一章不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.3三个正数的算术-几何平均不.

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1、1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式课堂探究1.三个正数或三个以上正数的算术儿何平均不等式的应用条件剖析：“一正”：不论是三个数或者刀个数的算术儿何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的.如吕+方十cN3引abc,取&=b=—2,c=2吋,b+c=~2,而3备be=6,显然一2$6不成立.“二定”：包含两类求最值问题:一是已知刀个正数的和为定值(即色+型+…+❺为定值)，求其积玄険…為的最大值;二是己知乘积❻及…/为定值，求其和ai+az禺的最小值.“三相等”:取“=”号的条件是句=戲=禺=・・・=禺，不能只

2、是其中一部分相等.不等式/+方'$2仪方与/+F+c■空3臼方c的运用条件不一样，前者要求&,方WR,后面要求日，b,胆R+.要注意区别.2.灵活使用基木不等式屮的变形与拼凑方法剖析：为了使用三个正数的算术儿何平均不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如尸4xxxx-?+/=A_

3、__+_其中把#拆成牙和㊁两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变A4X形：尸「+#=+++*2,虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无xx44

4、4/3法实现了，这是因为：取“=”号的条件显然x无解.x44题型一应用三个疋数的算术几何平均不等式求函数的最值【例1】已知x>0,求函数y=x{—x)的最大值.分析:为使数的“和”为定值，可以先平方，即/=x2(1-/)2=/(1-%2)(1-/)=2Y(1-%)(1-/)x

5、.求出最值后再开方.解：Vy=%(l—%),y=x(1—x)?'=2x(1—x)(1—/)•1,2,+1—y+i—4A3'}=27'2%+(1—x)+(1—x)—2,•“W当且仅当2,=1—即/=平时取等号成立.Ay的最大值为卑^・反思对式了拼凑

6、，以便能利用算术几何平均不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑耍合理，且耍符合适用的条件，对于本题，有的学牛可能这样去拼凑：11（v-l-2—21x1尸X（1T）=*1—力（1+劝詁・x（2—2x）・（l+x）W费=.虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取号的条件，显然无=2—2x=l+x无解，即无法取“=”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的.这就要求平时多积累一些拼凑方法，同时注意算术几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可.题型二应用三个正数的算术儿何平均不等式证明不等式【例2】设b,c>0,求

7、证：（卄〃十c）（£+£+》29.分析：先观察求证式子的结构，通过变形转化为用算术儿何平均不等式证明.证明：m,byc>0,a+b+c^Z^abcy*+£+£$二（臼+力+0）£+*+229.当且仅当日=Z?=q时，等号成立.反思三个正数的算术几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，-般都可以直接应用比较法证明，只是在貝-备条件时，肓接应用该定理会更简便.若不肓接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明.连续多次使用算术几何平均不等式

8、定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致.题型三应用三个正数的算术儿何平均不等式解决实际问题【例3】如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道，灯挂得太高了，桌了边缘处的亮度就小；挂得太低，桌了的边缘处仍然是不亮的.由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度F和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹也〃的正弦成正比，sin8而和这一点到光源的距离/的平方成反比，即这里&是一个和灯光强度有关的常数.那么究竟应该怎样选择灯的高度力，才能使桌子边缘处最亮?11分析：

9、根据题设条件建立于与0的关系式I—将它代入疋=广"

10、・"一*r得到以〃为口变量，〃为因变量的函数关系式一川平均不等式求函数的最值一获得问题的解解:2COS0:・E=k・sin"cos'01ji0

11、当的函数关系式，把问题转化为求函数的最值问题，并将关系式配凑成可以用算术几何平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解.