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《高中数学第四讲数学归纳法证明不等式单元整合素材新人教A版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第四讲数学归纳法证明不等式单元整合知识网络〔数学归纳法原理数学归纳V法，整除问题儿何问题数学归纳法应川＜等式问题I证明不等式贝努利不等式其他不等式专题探究专题一正确使用数学归纳法同学们在刚开始学习数学归纳法时，常常会遇到两个困难，一是数学归纳法的思想实质不容易理解，二是归纳步骤的证明有吋感到难以入手.本专题将对两种常见的错误进行讨论、整理，以帮助学牛进一步理解数学归纳法的原理，弄清它的实质，从而明确如何正确地使川数学归纳法.(1)缺少数学归纳法的第二步.有人觉得如果一个命题对于开头的一些白然数都成立，那么由丹斤)成立导
2、出m+1)成立是必然的，因此第二步归纳步骤是流于形式，证与不证似乎一样，显然这是不正确的.产牛这种错误想法的原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用，如果没有递推性，那么一个命题可能对于开头的许多口然数都成立，但是一般的并不成立，我们举几个例子来看看.十七世纪法国卓越的数学家费尔玛考查了形如22"+1的数，77=0,1,2,3,4时，它的值分别为3,5,17,257,65537.这5个数都是质数.因此费尔玛就猜想:对于任意的自然数门,式子22”+1的值都是质数.但是在十八I比纪另一位卓越的数学家欧拉指出/7=5时，2“
3、+1=4294967297=641X6700417.是个合数，费尔玛的猜想错了.这就充分说明我们不能把不完全归纳法当成证明，川数学归纳法证明时笫二步不可缺少.(2)缺少数学归纳法的笫一步.也有人觉得既然第二步归纳步骤屮有递推作用，而且斤乂可以任意取值，这样就够了，冇没冇第一步"(1)无关紧要.这种认识也是错误的，它忽视了第一•步的奠基作用，因为如果没有户(1)成立，归纳假设户(力成立就没有了依据，因此递推性也就成了无源Z水，无本之木，卜•面我们看一个这样的例子.【例】如果不要奠基步骤，我们就可以证明(刀+1)2+(刀+
4、2)2—定是偶数sen..).剖析：假设n=k时命题成立，即(W+l)2+(W+2)2是偶数.当心W+1时，ta+i)+1]2+[(A+D+2]2=a+2)2+a+i)2+4(A+i)+4=a+i)2+a+2)2+4(A+2).由假设U+l)2+(A+2)2是偶数，又4(A+2)也是偶数，所以上式是偶数，这就是说〃=&+1时命题也成立.山此，对于任意的正整数77，5+1)2+(卄2)2—定是偶数.这个结论显然是错误的，原因就在于证明中缺少第一步奠慕步骤，实际上，时，(1+1F+(1+2)2=4+9=13不是徜数，这说明
5、使用数学归纳法时缺第一步不可.瓯用数学归纳法证明，对于gN+,文+疵+嘉+•••+册7=希・证明：(1)当刀=1时，左边右边=*,所以等式成立.(2)假设n=k时等式成立，即丄斗丄+丄1_=丄1X22X33X4心+1)k+V当n=k+l时，丄+丄+丄+・・・+-1+—_11X2^2X3^3X4^A(A+1)(A+l)(&+2)_k1_k+=7+T+(a+1)(^+2)=7+2-由⑴⑵可知，对于任意的Z/WN+,所证等式都成立.专题二数学归纳法证题的儿种技巧在使用数学归纳法证明吋，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步
6、归纳步骤情况较复杂.因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“Pg是问题的条件，而命题AA+1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一•条件就成了归纳步骤中的关键，下而简要分析一些常用技巧.1.分析综合法用数学归纳法假设证明关于正整数〃的不等式，从“Pg到“戶仗+1)”，常常可用分析综合法.应用1求证：对任意正整数刀,有1"+2"+3'+…+//=(1+2+…+刀)2成立.提示：这是一个等式证明问题，它涉及全体正整数，用数学归纳法证明.用数学归纳法证明恒等
7、式，关键是第二步要用上假设，证明n=k+1时，原等式成立.证明：(1)当刀=1时，左边=1,右边=1,左边=右边，所以原等式成立.(2)假设当n=kgN+,心1)时,等式成立,即1'+2'+・・・+护=(1+2+・・・+以当n=k+1时,1'+2'+…+护+(&+1)‘=(1+2+…+力2+钦+1)‘2+(斤+1尸=[A2+4(A+1)1心+1)，~2-[l+2+・・・+W+(W+l)r，即当n=k+1时，原等式也成立.综合（1）⑵可知,对任何〃WN+,原等式都成立.h应用2
8、设a,〃为正数，〃GN+,求证：一-—2提
9、示：这是一个不等式证明问题，它涉及全体正整数7用数学归纳法证明.o-Lh勺+h证明：⑴当77=1时，—三―，显然成立・（2）假设当n=kgN_,^1）时，不等式成立，即牛宇）*•则”=«+1时，要证明不等式成立，即证明犷丁（宇卜〔z.-Lh的两边同时乘以千，得(臼+b)(d+F)>(臼+[舛1要证明*$佇勺什=只需证明#+】+护
