（浙江专用）高考数学第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例教案（含解析）

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1、第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影

6、a

7、cosθ叫做向量a在b方向上的投影，

8、b

9、cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度

10、a

11、与b在a的方向上的投影

12、b

13、cosθ的乘积3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)

14、＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模

15、a

16、＝

17、a

18、＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0

19、a·b

20、与

21、a

22、

23、b

24、的关系

25、a·b

26、≤

27、a

28、

29、b

30、

31、x1x2＋y1y2

32、≤[小题体验]1．已知

33、a

34、＝2，

35、b

36、＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.答案：D2．已知向量a和向量b的夹角为30°，

37、a

38、＝2，

39、b

40、＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝(　　)A．1　　　　　　　　　　

41、B．2C．3D．4解析：选C　由题意可得a·b＝

42、a

43、·

44、b

45、·cos〈a，b〉＝2××＝3.3．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则

46、a＋3b

47、＝(　　)A.B.C.D．4解析：选C　依题意得a·b＝，则

48、a＋3b

49、＝＝.4．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析：因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝，由b·c＝0，得b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2.答案：25．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD

50、的中点，则·＝________.解析：选向量的基底为，，则＝－，＝＋，所以·＝·(－)＝2.答案：21．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立．3．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.4．在用

51、a

52、＝求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．[小题纠偏]1．若a，b是两个互相垂直的非零向量，给出以下式子：①a·b＝0；②a＋b＝a－b；③

53、a＋b

54、＝

55、a－b

56、；④a2＋b2＝(a＋b)2.其中正确的个数

57、是(　　)A．1　　　　　　　　　　　B．2C．3D．4解析：选C　因为a，b是两个互相垂直的非零向量，所以a·b＝0；所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2；(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝a2＋b2；所以(a＋b)2＝(a－b)2，即

58、a＋b

59、＝

60、a－b

61、.故①③④是正确的，②是错误的．2．设向量a，b满足

62、a

63、＝

64、b

65、＝1，a·b＝－，则

66、a＋2b

67、＝________.解析：

68、a＋2b

69、＝＝＝＝.答案：[题组练透]1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　)A．(－15,12)　　　　　　　　B．0C．－3D．－11解析：选C　

70、∵a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3.2．(2018·浙江考前冲刺)若两个非零向量a，b满足

71、a＋b

72、＝

73、a－b

74、＝2

75、b

76、＝4，则向量a在a＋b上的投影为(　　)A.B．3C.D．6解析：选B　由

77、a＋b

78、＝

79、a－b

80、，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，由

81、a＋b

82、＝2

83、b

84、，得a2＋2a·b＋b2＝4b2，即a2＝3b2，所以

85、a

86、＝

87、b

88、＝2，所以向量a在a＋b上的投影为＝＝3.3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则·＝________.解析：法一：由

89、题意知，AC＝BC＝2，AB＝2，∴·＝·(＋)＝·＋·＝

90、

91、·

92、

93、cos45°＋

94、

95、·

96、

97、cos45°＝2×2×＋2×1×＝6.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，B(－2,0)，D(－1,0)，∴＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，∴·＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.答案：64．(2019·台州模拟)以O为起点作三个不共线