3.4.2函数模型及其应用 (2)

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1、函数题一：考点分析：函数是高中数学的基础知识，也是每年高考必考的重点内容，而且在每年的高考试卷上所占的比重比较大，从题型上来看，围绕函数的考查既有填空题，又有解答题。函数部分复习的重点应分两个方面：一是函数“内部”的复习：即对函数的基本概念（定义域、值域、函数关系）、函数的性质（函数的单调性、奇偶性、周期性）及应用、基本函数的图象与性质的掌握与应用等方面的复习；另一方面是从函数的“外延”方面去复习，即重视函数与其他知识点的交叉、综合方面的复习。函数复习除了知识方面的复习要全面到位以外，还要重视思想方法的渗透，尤其是要重视分类讨论、数形结合、等价转化等思想方法的渗透。二、典例解析：【例1】函数的

2、定义域为________________分析：不能只想到还要考虑。解：且，解得且。答案：【例2】若函数在（0，1）内恰有一个零点，则a的取值范围是.解法一：（数形结合、分类讨论）（ⅰ）时，不合题意；（ⅱ）时，由于函数的图象的对称轴是，且，作函数的图象知，此时函数在（0，1）内没有零点（ⅲ）时，由于函数的图象的对称轴是，且，作函数的图象知，要使函数在（0，1）内恰有一个零点，只须，即。解法二：时，，令则，于是有，作函数的图象知，当时，直线与函数的图象有唯一交点，故10a的取值范围是。答案：。【例3】已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是______________

3、_解：令，则；令，则，由得，所以答案：0。【例4】已知函数在上是减函数，则实数的范围是解：设，当时，，，则函数是上的减函数；当时，要使函数是上的减函数，则，，解得，综上，或。答案：或【例5】设函数在（，+）内有定义，对于给定的正数，定义函数，取函数，若对任意的，恒有=，则的最小值为___________1解：若对任意的，恒有=，则是函数在上的最大值，由知，所以时，，当时，，所以即的值域是，而要使在上恒成立，值为1。【例6】已知函数.(1)求函数的单调区间;10(1)证明:函数的图象关于点中心对称。;(2)当时,求函数的值域.解:(1)法一：，当或时，均有，所以函数的单调增区间为和。法二：由于，

4、因而函数的图象是由函数的图象先向右平移个单位，再向下平移1个单位而得，因而以函数的单调增区间为和。（2）设点是函数的图象上任一点，则，点关于点中心对称的点是，记，则由上可知，点也在函数的图象上，函数的图象关于点中心对称。（3），当时，，，，即当时,函数的值域为.【例7】已知二次函数满足，且。（1）求的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，,求的最大值。解：（1）设，代入和，并化简得，。10（2）当时，不等式恒成立即不等式恒成立，令，则，当时，，。（3）对称轴是。当时，即时，；当时，即时，综上所述：。【例8】已知。（Ⅰ）当，时，问分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求

5、出相应的最大值和最小值；（Ⅱ）若在R上恒为增函数，试求的取值范围;解：（Ⅰ）当时，。（1）时，，当时，；当时，。（2）当时，当时，；当时，。综上所述，当或4时，；当时，。（Ⅱ），10在上恒为增函数的充要条件是，解得。【例9】已知函数（且）。（1）求函数的定义域和值域；（2）是否存在实数，使得函数满足：对于任意，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。解：（1）由得，当时，；当时，，故当时，函数的定义域是；当时，函数的定义域是。令，则，，当时，是减函数，故有，即，所以函数的值域为。（2）若存在实数，使得对于任意，都有，则是定义域的子集，由（1）得不满足条件；因而只能有，且，即，令，由

6、（1）知，由得（舍去），或，即，解得，由是，只须对任意，恒成立，而对任意，由得，因而只要，解得。综上，存在，使得对于任意，都有。【例10】已知集合是同时满足下列两个性质的函数的全体：在其定义域上是单调函数；在的定义域内存在闭区间，使得在上的最小值是，最大值是。请解答以下问题：（1）判断函数是否属于集合？并说明理由，若是，请找出满足的闭区间；（2）若函数，求实数的取值范围。解：的定义域是，，当时，恒有（仅在时取等号），故在其定义域上是单调减函数；若，当时，即解得10故满足的闭区间是。至此可知，属于集合。（2）函数的定义域是，当时，，故函数在上是增函数，若，则存在，且，使得，即且令，则，于是关于的

7、方程在上有两个不等的实根，记，。三、巩固练习：1．已知函数恰有一个零点在区间（2，3）内，则实数k的取值范围是2．若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则的取值范围是___________________.3．已知函数，对任意的，都有成立，则的取值范围是___4．已知函数是偶函数，当时，有，且当，的值域是，则的值是5．已知，，则与的大小关系是_______.6．已知函数.（1）求函数的定义域；