高考数学一轮复习课时跟踪检测（五十六）数学归纳法理苏教版

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1、课时跟踪检测（五十六）数学归纳法一保高考，全练题型做到高考达标1．用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)”，当n＝1时，等式应为___________________．答案：1＋2＋3＋4＝2．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是________．解析：当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1

2、＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．答案：2(2k＋1)3．(2018·海门实验中学检测)数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________．解析：计算出a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜想an＝n2.答案：an＝n24．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为________．解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；

3、3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．答案：f(n)＝5．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞成立，起始值应取为n＝________.解析：不等式的左边＝＝2－，当n＜8时，不等式不成立，故起始值应取n＝8.答案：86．平面内n(n∈N*)个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该n个圆把平面分成f(n)个区域，则f(n)＝________.解析：因为f(1)＝2，f(n)－f(n－1)＝2(n－1)，则f(2)－f(1)＝2×1，

4、f(3)－f(2)＝2×2，f(4)－f(3)＝2×3，……，f(n)－f(n－1)＝2(n－1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，即f(n)＝n2－n＋2.答案：n2－n＋27．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值．(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·＞成立．解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－

5、Sn－1＝bn－1(b－1)．由于b＞0且b≠1，所以当n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，因为＝b，所以＝b，解得r＝－1.(2)证明：当b＝2时，由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，故所证不等式为··…·＞.用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，左式＝，右式＝，左式＞右式，所以不等式成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，即··…·＞，则当n＝k＋1时，··…··＞·＝，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证≥，即证≥，由基本不等式，得＝≥，故≥成立，所以

6、当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，对任意的n∈N*，不等式··…·＞成立．8．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．解：(1)由题意得a1＝1，b1＝－1，b2＝＝，a2＝1×＝，所以P2.所以直线l的方程为＝，即2x＋y＝1.(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，2ak＋bk＝1成

7、立．则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1，所以当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立．由①②知，对于n∈N*，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上．9．已知数列，当n≥2时，an＜－1，又a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N*时，an＋1＜an.证明：(1)当n＝1时，因为a2是a＋a2－1＝0的负根，所以a1＞a2.(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＜ak，因为a－a＝(a＋ak＋2－1)－(a＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1

8、＋1)，ak＋1＜ak≤0，所以a－a＞0，又因为ak＋2＋ak＋1＋1＜－1＋(－1)＋1＝－1，所以ak＋2－ak＋1＜0，所以ak＋2＜ak＋1，即当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，当n∈N*时，an＋1＜an.10．(2019·南京模拟)把圆分成n(n≥3)个扇形，设用