高考数学总复习课时跟踪检测（三十五） 数学归纳法.doc

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1、课时跟踪检测（三十五）数学归纳法一保高考，全练题型做到高考达标1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则f(1)为(　　)A．1　　　　　　　　　　　　　B．C．1＋＋＋＋D．非以上答案解析：选C　等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C.2．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是(　　)A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.解析：选B　当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)·

2、…·(k＋k)；当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．3．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开(　　)A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析：选A　假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即

3、可．4．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)A．n＋1B．2nC.D．n2＋n＋1解析：选C　1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为______________．解析：当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n＝k＋1时，左端为1

4、＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)26．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.解析：由(S1－1)2＝S得，S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得，S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得，S3＝.猜想Sn＝.答案：7．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.证明：(

5、1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，原等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·.那么，当n＝k＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]＝(－1)k.∴n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n∈N*有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.8．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋

6、1，bn＋1＝(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．解：(1)由题意得a1＝1，b1＝－1，b2＝＝，a2＝1×＝，∴P2.∴直线l的方程为＝，即2x＋y＝1.(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，2ak＋bk＝1成立．则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1，∴当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立．由①②知，对于n∈N*，都有2an＋bn

7、＝1，即点Pn在直线l上．9．(2019·宁波模拟)已知三个数列{an}，{bn}，{cn}，满足a1＝－，b1＝1，an＋1＝，bn＋1＝2bn＋1，cn＝abn，n∈N*.(1)证明：当n≥2时，an＞1；(2)是否存在集合[a，b]，使得cn∈[a，b]对任意n∈N*成立，若存在，求出b－a的最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：下面用数学归纳法证明：当n≥2时，an＞1.①当n＝2时，由a1＝－，an＋1＝，得a2＝，显然成立；②假设当n＝k时命题成立，即ak＞1.则当n＝k＋1时，ak＋1＝，于是ak＋1－1＝.因为2－(3－ak)2＝4(a

8、k－1)＞0.所以ak＋1＞1，即当n