高考数学一轮复习第四章第七节正弦定理和余弦定理教案文苏教版

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1、第七节正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形形式(边角转化)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝，sinB＝，sinC＝；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_CcosA＝；cosB＝；cosC＝2．三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)；(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切

2、圆半径)．[小题体验]1．(2019·启东中学检测)在△ABC中，A＝30°，AC＝2，BC＝2，则AB＝________.答案：2或42．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a＝________.答案：63．(2019·淮安调研)在△ABC中，若A＝60°，AC＝2，BC＝2，则△ABC的面积为________．解析：在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝2，由余弦定理，得cosA＝＝，代入数据化简得AB2－2AB－4＝0，解得AB＝＋(负值舍去)．故△ABC的面积S＝AB·AC·sinA＝3＋.答案：3＋1．由正弦定理解已知三角形

3、的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．[小题纠偏]1．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形解的情况为________．解析：因为＝，所以sinB＝sinA＝sin45°＝.又因为a＜b，所以B有两个解，即此三角形有两解．答案：两解2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.解析：在△ABC中，因为sinB

4、＝，0＜B＜π，所以B＝或B＝.又因为B＋C＜π，C＝，所以B＝，所以A＝.因为＝，所以b＝＝1.答案：1　[典例引领]　(2018·南京高三年级学情调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝.(1)若c＝2a，求的值；(2)若C－B＝，求sinA的值．解：(1)法一：在△ABC中，由余弦定理得cosB＝＝.因为c＝2a，所以＝，即＝，所以＝.又由正弦定理得＝，所以＝.法二：因为cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝＝.因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，所以sinC＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC

5、，即－sinC＝2cosC.又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，所以＝.(2)因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝.又0＜B＜π，所以sinB＝＝，所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝.因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，所以sinA＝sin＝sincos2B－cossin2B＝×－×＝.[由题悟法]1．正、余弦定理适用类型解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理

6、都有可能用到．2．判断三角形解的个数的注意点已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[即时应用]1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为________．解析：因为S△ABC＝bcsinA＝2，所以bc＝6，又因为sinA＝，所以cosA＝，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.答案：2或32．(2018·苏州高

7、三期中调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinB＋sinC＝msinA(m∈R)，且a2－4bc＝0.(1)当a＝2，m＝时，求b，c的值；(2)若角A为锐角，求m的取值范围．解：由题意得b＋c＝ma，a2－4bc＝0.(1)当a＝2，m＝时，b＋c＝，bc＝1，解得或(2)cosA＝＝＝＝2m2－3，因为A为锐角，所以cosA＝2m2－3∈(0,1)，所以＜m2＜2，又由b＋c＝ma，可得m＞0，所以＜m＜，即m的取值范围为.　[典例引领]在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2＝，则△ABC的形状

8、一定是________．解析：由题意，得＝，即cosB＝，又由余弦定理，得＝，整理得a2＋b2＝c2，所以△